Всего: 22 1–20 | 21–22
Добавить в вариант
Основою піраміди SABCD є ромб ABCD, більша діагональ якого АС = 30. Грань SBC є рівнобедреним трикутником (SB = SC) і перпендикулярна до площини основи піраміди. Ребро SC нахилено до площини основи піраміди під кутом 30°. Визначте кут між площинами (SAD) і (АВС), якщо висота піраміди дорівнює 5.
(это и есть угол между SC и плоскостью основания, поскольку проекцией SC будет MC), 
Тогда 
также 
Плоскости ABCD и SAD пересекаются по прямой AD. Опустим на нее перпендикуляр из точки M. Допустим, он упадет в точку N. Тогда 
по теореме о трех перпендикулярах. Значит 
поэтому 
Основою піраміди SABC є гострокутний рівнобедрений трикутник ABC, AB = BC = 18. Грані SAC i SAB перпендикулярні до площини основи піраміди, а ребро SB нахилене до неї під кутом 30°. Визначте кут між площинами (SBC) i (ABC), якщо площа основи піраміди дорівнює 72.
Тогда 
У правильній чотирикутній піраміді SABCD з точки O, яка є основою висоти SO, до бічного ребра SA проведено перпендикуляр OM довжиною 
Двогранний кут при бічному ребрі піраміди дорівнює 120°.
1. Доведіть, що пряма SA перпендикулярна до площини BMD.
2. Знайдіть об'єм піраміди SABCD.
OM и SA перпендикулярны BD по теореме о трех перпендикулярах, поскольку проекцией AS на плоскость основания будет прямая AO, то есть прямая AC, но 
как диагонали квадрата. Итак, прямая AS перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости BMD и потому перпендикулярна всей плоскости.
а 
поэтому 
а так как у квадрата диагональ в 
раз больше стороны, значит сторона квадрата ABCD равна 18. 
и 
Основою прямої призми ABCDA1B1C1D1 є прямокутник ABCD, у яком у діагональ 
Площина, що проходить через вершину верхньої основи та діагональ нижньої основи призми, утворю є з площиною основи гострий кут α. В изначте об’єм заданої призми.
также 
Опустим на AC перпендикуляр B1H в этой плоскости, тогда по теореме о трех перпендикулярах 
и тогда 
находим 
або 
Основою піраміди SABCD є паралелограм ABCD з гострим кутом А. Ребро SB перпендикулярне до прямих AB і BC. Проекцією ребра SD на площину основи піраміди є відрізок довжиною 10 см, який утворює зі стороною AD кут: 30°. Визначте кут між площинами (SAD) і (ABC). якщо SD = 15 см.
и 
получаем что 
Тогда проекция SD на плоскость основания это BD, то есть 
см. В прямоугольном треугольнике SBD по теореме Пифагора находим 
по теореме о трех перпендикулярах. Значит, 
Осьовим перерізом циліндра є прямокутник ABCD, сторона AD якого лежить у нижній основі циліндра. Діагональ АС перерізу утворює з площиною верхньої основи циліндра кут β. Діаметр основи циліндра дорівнює d. На колі нижньої основи вибрано точку K так, що відрізок AK видно з точки D під кутом 30°.
1. Зобразіть на рисунку заданий циліндр і вкажіть кут у між площиною (CKA) і площиною нижньої основи. Обґрунтуйте його положення.
2. Визначте кут γ.
а 
поскольку опирается на диаметр, то 
Значит, 
Осьовим перерізом циліндра є прямокутник ABCD, сторона AD якого лежить у нижній основі циліндра. Діагональ AC перерізу дорівнює d й утворює з площиною нижньої основи циліндра кут β. На колі нижньої основи вибрано точку K так, що градусна міра дуги AK дорівнює 90°.
1. Зобразіть на рисунку заданий циліндр і вкажіть кут у між площиною (KBD) і площиною нижньої основи циліндра. Обґрунтуйте його положення.
2. Визначте кут γ.
Відповідно до умови завдання 31 (№ 1357) у правильній чотирикутній піраміді SABCD з основою ABCD бічне ребро утворює з площиною основи кут β. Довжина бічного ребра дорівнює 12.
1. Зобразіть на рисунку правильну чотирикутну піраміду SABCD та укажіть лінійний кута β двогранного кута при ребрі основи цієї піраміди. Обґрунтуйте його положення.
2. Визначте кута β.
Тогда и проекция SM на плоскость основания ABCD (то есть отрезок OM) по теореме о трех перпендикулярах будет перпендикулярен AB. Значит, 
У правильній чотирикутній піраміді SABCD з основою ABCD бічне ребро утворює з площиною основи кут α. Довжина бічного ребра дорівнює 12.
1. Зобразіть на рисунку правильну чотирикутну піраміду SABCD та позначте кут α між бічним ребром SА та площиною основи піраміди.
2. Визначте довжину висоти піраміди.
3. Знайдіть об’єм піраміди SABCD.
В прямоугольном треугольнике SAO тогда 
У квадрата диагональ в 
Выразим высоту SO пирамиды из прямоугольного треугольника SOL, получим: 
Выразим высоту SO пирамиды из прямоугольного треугольника SOB, получим:
3) 
Выразим высоту SO пирамиды из прямоугольного треугольника SOL, получим: 
Выразим высоту SO пирамиды из прямоугольного треугольника SOB, получим:
3) 
следовательно,
Найдём площадь равностороннего треугольника, лежащего в основании:
Апофема треугольника BSC равна 
3) 
3) 
Висота правильної трикутної піраміди дорівнює 3. Бічні грані нахилені до основи під кутом β.
а) Зобразіть на малюнку цю піраміду та кут β.
б) Знайдіть площу повної поверхні піраміди.
в) Знайдіть об'єм піраміди.
откуда 
3) 
откуда
Апофема правильної трикутної піраміди дорівнює 4. Бічні ребра нахилені до основи під кутом α.
а) Зобразіть на малюнку цю піраміду та кут α.
б) Знайдіть площу повної поверхні піраміди.
в) Знайдіть об'єм піраміди.
откуда
3) 
откуда:
Апофема правильної трикутної піраміди дорівнює 3. Бічні ребра нахилені до основи під кутом α.
а) Зобразіть на малюнку цю піраміду та кут α.
б) Знайдіть кут нахилу бічних граней до основи.
в) Знайдіть площу поверхні піраміди.
3) 
то есть прямые AK и CK суть перпендикуляры к ребру двугранного угла между плоскостями SBA и SBC, а потому угол AKC — линейный угол двугранного угла при боковом ребре. Обозначим его δ.
откуда
следовательно,
3) 
3) 
Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 5. Бічні грані нахилені до основи під
1. Зобразіть на малюнку цю піраміду та кут β.
2. Знайдіть апофему.
3. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.
Выразим апофему SL пирамиды из прямоугольного треугольника SOL, получим:
3) 
Відповідно до умови завдання 31 (№ 3520) сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 5. Бічні грані нахилені до основи під кутом β.
1. Зобразіть на малюнку цю піраміду та побудуйте лінійний кут двогранного кута при бічному ребрі.
2. Знайдіть цей кут.
то есть прямые AK и CK суть перпендикуляры к ребру двугранного угла между плоскостями SBA и SBC, а потому угол AKC — линейный угол двугранного угла при боковом ребре. Обозначим его δ.
Відповідно до умови завдання 31 (№ 3522) бічні ребра правильної чотирикутної піраміди дорівнюють 5. Плоский кут при вершині
1. Зобразіть на малюнку цю піраміду і побудуйте лінійний кут двогранного кута при основі піраміди.
2. Знайдіть цей кут.
Найдём площадь квадрата, лежащего в основании:
Апофема треугольника ASC равна 
3) 
Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 3. Бічні грані нахилені до основи під
1. Зобразіть на малюнку цю піраміду та кут β.
2. Знайдіть площу повної поверхні піраміди.
3. Знайдіть об'єм піраміди.
откуда 
3) 
