СКЛАДУ ЗНО, математика: завдання, відповіді, рішення

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C3 № 882 Добавить в вариант

Основою прямої призми ABCDA₁B₁C₁D₁ є прямокутник ABCD, у яком у діагональ $AC= альфа ,$ $\angle BAC= бета .$ Площина, що проходить через вершину верхньої основи та діагональ нижньої основи призми, утворю є з площиною основи гострий кут α. В изначте об’єм заданої призми.

Спрятать решение

Решение.

В прямоугольном треугольнике ABC сразу можем найти $AB=AC косинус \angle BAC=a косинус бета ,$ также

$BC=AC синус \angle BAC=a синус бета ,$

поэтому

$S_ABCD=AB умножить на BC=a в квадрате синус бета косинус бета .$

Рассмотрим теперь плоскость, проходящую через A, C и вершину верхнего основания. Если это A₁ или C₁, то плоскость перпендикулярна плоскости ABCD, что противоречит условию. Пусть она проходит через $B_1.$ Опустим на AC перпендикуляр B₁H в этой плоскости, тогда по теореме о трех перпендикулярах $BH\perp AC$ и тогда $альфа =\angle левая круглая скобка ACB_1; ACB правая круглая скобка =\angle B_1HB.$

Найдем BH как высоту в треугольнике ABC:

$BH= дробь: числитель: 2S_ABC, знаменатель: AC конец дроби = дробь: числитель: S_ABCD, знаменатель: a конец дроби = дробь: числитель: a в квадрате синус бета косинус бета , знаменатель: a конец дроби =a синус бета косинус бета .$

Тогда в прямоугольном треугольнике $B_1BH$ находим

$B_1B=BH тангенс \angle B_1HB=a синус бета косинус бета тангенс альфа .$

Наконец

$V=BB_1 умножить на S_ABCD=a синус бета косинус бета тангенс альфа умножить на a в квадрате синус бета косинус бета =a в кубе синус в квадрате бета косинус в квадрате бета тангенс альфа .$

Ответ: $дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби a в кубе синус в квадрате 2 бета тангенс альфа$ або $a в кубе синус в квадрате бета косинус в квадрате бета тангенс альфа .$

Источник: ЗНО 2017 року з математики — додаткова сесія

Методы геометрии: Теорема о трёх перпендикулярах

Классификатор стереометрии: 3\.13\. Прочие прямые призмы, 4\.2\. Объем многогранника, 5\.1\. Сечение, проходящее через три точки

Спрятать решение