Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д17 C3 № 780
i

Ос­но­вою піраміди SABC є го­стро­кут­ний рівно­бед­ре­ний три­кут­ник ABC, AB = BC = 18. Грані SAC i SAB пер­пен­ди­ку­лярні до пло­щи­ни ос­но­ви піраміди, а ребро SB на­хи­ле­не до неї під кутом 30°. Визна­чте кут між пло­щи­на­ми (SBC) i (ABC), якщо площа ос­но­ви піраміди дорівнює 72.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку плос­ко­сти ASB и ASC пер­пен­ди­ку­ляр­ны плос­ко­сти ABC, то и пря­мая, по ко­то­рой они пе­ре­се­ка­ют­ся, пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC. Итак, SA\perp ABC. Тогда

\angle левая круг­лая скоб­ка SB, ABS пра­вая круг­лая скоб­ка =\angle левая круг­лая скоб­ка SB, AB пра­вая круг­лая скоб­ка =\angle ABS,

по­сколь­ку AB — про­ек­ция BS на плос­кость ос­но­ва­ния. Зна­чит

SA=AB тан­генс 30 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка =18 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби =6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Опу­стим вы­со­ту AH на BC. Тогда она будет про­ек­ци­ей SH на плос­кость ос­но­ва­ния и по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах будет пер­пен­ди­ку­ляр­на к BC. Зна­чит

\angle левая круг­лая скоб­ка SBC, ABC пра­вая круг­лая скоб­ка =\angle левая круг­лая скоб­ка SH, AH пра­вая круг­лая скоб­ка =\angle AHS= арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: AS, зна­ме­на­тель: AH конец дроби =
= арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 2S_ABC, зна­ме­на­тель: BC конец дроби конец дроби = арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 2 умно­жить на 72, зна­ме­на­тель: 18 конец дроби конец дроби = арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби = арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

 

Ответ: арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Источник: ЗНО 2016 року з ма­те­ма­ти­ки — до­дат­ко­ва сесія
Методы геометрии: Тео­ре­ма о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах
Классификатор стереометрии: 1\.6\. Угол между плос­ко­стя­ми, 3\.6\. Не­пра­виль­ные пи­ра­ми­ды
Спрятать решение


О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе
© Гущин Д. Д., 2011—2024