PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
| x | y |
|---|---|
| −1 | |
| 0 | |
| 2 |
Задано функцію 
1. Для наведених у таблиці значень аргументи х визначте відповідні їм значення у (см. тблицу).
2. Визначте й запишіть координати точок перетину графіка функції 
із віссю х.
3. Знайдіть похідну f' функції 
4. Визначте нулі функції f'.
5. Визначте проміжки зростання і спадання, точки екстремуму й екстремуми функції f.
6. Побудуйте ескіз графіка функції f.
Задано функцію 
| x | y |
|---|---|
| 0 | |
| −1 | |
| 2 |
1. Для наведених у таблиці значень аргументи х визначте відповідні їм значення у (див. таблиця).
2. Визначте й запишіть координати точок перетину графіка функції 
із віссю x.
3. Знайдіть похідну f' функції 
4. Визначте нулі функції f'.
5. Визначте проміжки зростання і спадання, точки екстремуму й екстремуми функції f.
6. Побудуйте ескіз графіка функції f.
| x | y |
|---|---|
| 0 | |
| 0 | |
| 9 |
Задано функцію 
1. Для наведених у таблиці значень аргументу x і значень функції y визначте відповідні їм значення y та x (див. таблицу).
2. Запишіть координати точки М перетину графіка заданої функції з віссю x.
3. Знайдіть загальний вигляд первісних функції 
4. Знайдіть первісну F(x) функції f, графік якої проходить через точку M.
5. Побудуйте графік функції F.
6. Визначте область значень функції 
| x | y |
|---|---|
| 0 | |
| 0 | |
| 9 |
Задано функцiю 
1. Для наведених у таблиці значень х та у заданої функції визначте відповідні їм значення у та х. Результати запишіть у таблицю.
2. Побудуйте графік функції
3. Позначте на рисунку точки перетину графіка функції з осями координат та укажіть координати цих точок.
4. Знайдіть одну з первісних 
для функції 
5. Запишіть формулу для обчислення площі S фігури, обмеженої графіком функції f та осями координат.
6. Обчисліть площу S цієї фігури.
| x | y |
|---|---|
| −1 | |
| 0 | |
| 1 |
Задано функцію
1. Для наведених у таблиці значень аргументів х визначте відповідні їм значення (див. таблицю).
2. Визначте та запишіть координати точок перетину графіка
з віссю x .
3. Знайдіть похідну f' функції
Визначте нулі функції f '.
4. Визначте проміжки зростання та спадання, точки екстремуму функції f .
5. Побудуйте ескіз графіка функції f .
6. Знайдіть площу фігури, розташованої в третій координатній чверті та обмеженою графіком функції
і прямою
| x | y |
|---|---|
| −1 | |
| 0 | |
| 1 |
Задано функцію
1. Для наведених у таблиці значень аргументв х визначте відповідні їм значення у (див. таблицю).
2. Знайдіть рівняння щодо графіку функції у його точці з абсцисою
3. Знайдіть похідну f' функції
Визначте нулі функції f' .
4. Визначте проміжки зростання та спадання, точки екстремуму функції f .
5. Побудуйте ескіз графіка функції f .
6. Знайдіть площу фігури, обмеженою графіком функції
прямою
віссю Oy і першою координатною чвертю.
| x | y |
|---|---|
| −2 | |
| −1 | |
 |
Задано функцію
1. Для наведених у таблиці значень аргументів х визначте відповідні їм значення у (див. таблицю).
2. Знайдіть похідну f' функції
Визначте нульові функції f' .
3. Напишіть рівняння графіку функції паралельної осі абсцис.
4. Визначте проміжки зростання та спадання, точки екстремуму функції f .
5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції на відрізку
6. Побудуйте графік функції на відрізку
| x | y |
|---|---|
| −3 | |
| 0 | |
| 3 |
Задано функцію
1. Для наведених у таблиці значень аргументів х визначте відповідні їм значення у (див. таблицю).
2. Знайдіть координати точок перетину графіка функції з осями координат.
3. Знайдіть похідну f' функції
4. Визначте нулі функції f' .
5. Визначте проміжки зростання та спадання, точки екстремуму функції f .
6. Побудуйте ескіз графіка функції f .
| x | y |
|---|---|
| 0 | |
| 1 | |
| 2 |
Задано функцію
1. Для наведених у таблиці значень аргументів х визначте відповідні їм значення (див. таблицю).
2. Визначте та запишіть координати точок перетину графіка
з віссю y .
3. Знайдіть похідну f' функції
4. Визначте нулі функції f' .
5. Визначте проміжки зростання та спадання, точки екстремуму функції f .
6. Побудуйте ескіз графіка функції f на відрізку
| x | y |
|---|---|
| 0 | |
| 1 | |
| 2 |
Задано функцію
1. Для наведених у таблиці значень аргументів х визначте відповідні їм значення у (див. таблицю).
2. Визначте та запишіть координати точок перетину графіка
з віссю x .
3. Знайдіть похідну f' функції
4. Визначте нулі функції f' .
5. Визначте проміжки зростання та спадання, точки екстремуму функції f .
6. Побудуйте ескіз графіка функції f .
| x | y |
|---|---|
| −2 | |
| 1 | |
| 2 |
Задано функцію
1. Для наведених у таблиці значень аргументів х визначте відповідні їм значення у (див. таблицю).
2. Визначте та запишіть координати точок перетину графіка
з віссю x .
3. Знайдіть похідну f' функції
4. Визначте нулі функції f' .
5. Визначте проміжки зростання та спадання, точки екстремуму функції f .
6. Побудуйте ескіз графіка функції f .
| x | y |
|---|---|
| −1 | |
| 0 | |
| 1 |
Задано функцію
1. Для наведених у таблиці значень аргументів х визначте відповідні їм значення у (див. таблицю).
2. Визначте та запишіть координати точок перетину графіка
з віссю x .
3. Знайдіть похідну f' функції
4. Визначте нулі функції f' .
5. Визначте проміжки зростання та спадання, точки екстремуму функції f .
6. Побудуйте ескіз графіка функції f .
| x | y |
|---|---|
| −1 | |
| 0 | |
| 1 |
Задано функцію
1. Для наведених у таблиці значень аргументів х визначте відповідні їм значення у (див. таблицю).
2. Знайдіть похідну f' функції
3. Визначте нулі функції f' .
4. Визначте проміжки зростання та спадання, точки екстремуму функції f .
5. Знайдіть кількість значень функції
6. Побудуйте ескіз графіка функції f .
| x | y |
|---|---|
| 0 | |
| 1 | |
| 3 |
Задано функцію
1. Знайдіть первісну
функції графік якої проходить через точку з координатами
2. Для наведених у таблиці значень аргументів х визначте відповідні їм значення для функції (Див. таблицю).
3. Знайдіть похідну F' функції
4. Визначте нулі функції F' .
5. Визначте проміжки зростання та спадання, точки екстремуму функції F .
6. Побудуйте ескіз графіка функції F .
| x | y |
|---|---|
| −1 | |
| 0 | |
| 1 |
Задано функцію
1. Знайдіть для цієї функції первісну
графік якої проходить через початок координат.
2. Для наведених у таблиці значень аргументів х визначте відповідні їм значення для функції (Див. таблицю).
3. Знайдіть похідну F' функції
4. Визначте нулі функції F' .
5. Визначте точки екстремуму функції F .
6. Побудуйте ескіз графіка функції F .
| x | y |
|---|---|
| 1 | |
| 2 | |
| 3 |
Вказано функцію
1. Для наведених у таблиці значень аргументів х визначте відповідні їм значення у (див. таблицю).
2. Знайдіть похідну f' функції
3. Напишіть рівняння прямої l , що дотикається графіка функції у його точці з абсцисою
4. Визначте нулі функції f' .
5. Визначте проміжки зростання та спадання, точки екстремуму функції f .
6. Побудуйте графік функції і пряму l .
| x | y |
|---|---|
| −1 | |
| 0 | |
| 1 |
Задано функцію
1. Для наведених у таблиці значень аргументів х визначте відповідні їм значення у (див. таблицю).
2. Визначте та запишіть координати точок перетину графіка
з віссю x .
3. Знайдіть похідну f' функції
Визначте нулі функції f '.
4. Визначте проміжки зростання та спадання, точки екстремуму функції f .
5. Побудуйте ескіз графіка функції f .
6. Знайдіть площу фігури, розташованої в першій координатній чверті та обмеженою графіком функції і прямою
| x | y |
|---|---|
| −1 | |
| 0 | |
| 1 |
Задано функцію
1. Для наведених у таблиці значень аргументів х визначте відповідні їм значення у (див. таблицю).
2. Знайдіть рівняння графіка функції у його точці з абсцисою
3. Знайдіть похідну f' функції
Визначте нулі функції f' .
4. Визначте проміжки зростання та спадання, точки екстремуму функції f .
5. Побудуйте ескіз графіка функції f .
6. Знайдіть площу фігури, обмеженою графіком функції прямою
віссю Oy і що лежить у першій координатній чверті.
| x | y |
|---|---|
| −3 | |
| 0 | |
| 3 |
Задано функцію
1. Для наведених у таблиці значень аргументів х визначте відповідні їм значення у (див. таблицю).
2. Знайдіть координати точок перетину графіка функції з осями координат.
3. Знайдіть похідну f' функції
4. Визначте нулі функції f' .
5. Визначте проміжки зростання та спадання, точки екстремуму функції f .
6. Побудуйте ескіз графіка функції f .
| x | y |
|---|---|
| −2 | |
| −1 | |
|
Задано функцію
1. Для наведених у таблиці значень аргументів х визначте відповідні їм значення у (див. таблицю).
2. Знайдіть похідну f' функції
Визначте нулі функції f' .
3. Напишіть рівняння дотичної графіка функції паралельної осі абсцис.
4. Визначте проміжки зростання та спадання, точки екстремуму функції f .
5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції на відрізку
6. Побудуйте графік функції на відрізку
| x | y |
|---|---|
| 0 | |
| 1 | |
| 2 |
Задано функцію
1. Для наведених у таблиці значень аргументів х визначте відповідні їм значення у (див. таблицю).
2. Визначте та запишіть координати точок перетину графіка
з віссю y .
3. Знайдіть похідну f' функції
4. Визначте нулі функції f' .
5. Визначте проміжки зростання та спадання, точки екстремуму функції f .
6. Побудуйте ескіз графіка функції f на відрізку
| x | y |
|---|---|
| −3 | |
| 0 | |
| 3 |
Задано функцію
1. Для наведених у таблиці значень аргументів х визначте відповідні їм значення у (див. таблицю).
2. Визначте та запишіть координати точок перетину графіка
з віссю x .
3. Знайдіть похідну f' функції
4. Визначте нулі функції f' .
5. Визначте проміжки зростання та спадання, точки екстремуму функції f .
6. Побудуйте ескіз графіка функції f .
| x | y |
|---|---|
| −2 | |
| 1 | |
| 2 |
Задано функцію
1. Для наведених у таблиці значень аргументів х визначте відповідні їм значення у (див. таблицю).
2. Визначте та запишіть координати точок перетину графіка
з віссю x .
3. Знайдіть похідну f' функції
4. Визначте нулі функції f' .
5. Визначте проміжки зростання та спадання, точки екстремуму функції f .
6. Побудуйте ескіз графіка функції f .
| x | y |
|---|---|
| −1 | |
| 0 | |
| 1 |
Задано функцію
1. Для наведених у таблиці значень аргументів х визначте відповідні їм значення у (див. таблицю).
2. Визначте та запишіть координати точок перетину графіка з віссю x .
3. Знайдіть похідну f' функції
4. Визначте нулі функції f' .
5. Визначте проміжки зростання та спадання, точки екстремуму функції f .
6. Побудуйте ескіз графіка функції f .
| x | y |
|---|---|
| 1 | |
| 2 | |
| 4 |
Задано функцію
1. Знайдіть первісну функції
, графік якої дотикається прямої
2. Для наведених у таблиці значень аргументів х визначте відповідні їм значення для функції (Див. таблицю).
3. Визначте нулі функції F .
4. Визначте точки екстремуму.
5. Визначте проміжки зростання та спадання.
6. Побудуйте ескіз графіка функції F .
откуда 
Возьмем производную: 
Решая уравнение 
получим 
при 
и при 
(функция возрастает), 
при 
(функция убывает). При 
у функции минимум, при 
у функции максимум, 
откуда 
Возьмем производную функции: 
получим 
и при 
(функция возрастает), 
(функция убывает). При 
у функции минимум, при 
у функции максимум, 
то 
то 
проміжок спадання: [−1; 1]; точки екстремуму: 
екстремуми: 
при 
дает 
при 
дает 
Если 
то 
откуда 
Отметим, что это и есть точка пересечения с горизонтальной осью, то есть 
это 
координаты точки M, находим 
откуда 
Итак, 
или 
тоже принимает все неотрицательные значения и только их, а 
принимает все значения из промежутка 
и только их.
то 
то 
сдвинутый вниз на 2.
и 
Значит, ее площадь равна
откуда 
Значит, функция возрастает на 
убывает на 
и возрастает на 
При 
Возьмем вторую производную 
что положительно при 
и отрицательно при 
Значит, функция выпукла вниз при 
График изображен на рисунке.
Для этого решим уравнение:
Следовательно, прямая 
пересекает график функции при 
ее график лежит выше секущей. Поэтому 
поэтому 
Кроме того 
поэтому уравнение касательной имеет вид 
или же 
— касательная горизонтальна.
поймем, что ее корни 
У нее нет асимптот. Ее производная 
отрицательна при 
поэтому cама функция убывает при 
и при 
и возрастает при 
Следовательно, 
Ее вторая производная 
положительна при 
и отрицательна при 
поэтому функция выпукла вверх при 
Осталось построить график. 
имеет только корень −4, при этом 
и отрицательно на отрезке 
значит, исходная функция возрастает на 
и убывает на 
Поэтому наименьшее значение у нее 
а наибольшее достигается в одном из концов отрезка:
получим, что единственный ее корень это 
Функия определена на всем отрезке, вертикальных асимптот не имеет. Монотонность ее была уже исследована раннее. Осталась выпуклость. Возьмем вторую производную.
поэтому функция выпукла вверх. Осталось построить график. 
откуда 
Первая заодно будет точкой пересечения с осью ординат.
и отрицательно при 
или 
убывает при 
возрастает при 
и убывает при 
что отрицательно при 
пересекается с осью y в единственной точке — (0; 2).
поэтому y имеет корни 
(корни второго множителя), при этом 
поэтому не лежит на указанном отрезке.
что положительно при 
но отрицательно при 
исходная функция возрастает при 
и при 
и убывает при 
При этом 
Значит, она принимает все значения из промежутка 
что положительно при 
поэтому функция выпукла вверх при 
— точка перегиба. График представлен на рисунке, множество значений 
функция четная. График симметричен относительно оси Oy. Решим уравнение y = 0:
и 
Промежутки знакопостоянтсва отметим на рисунке. 
и на 
возрастает на 
и на 
График функции изображен на рисунке. 
и 
при 
и 
при 
Поэтому функция убывает на промежутках 
и 
возрастает на промежутке 
Значит, 
— точка максимума. При этом 
и 
График представлен на рисунке.
Найдем нули функции:
и на 
убывает на отрезке 
Экстремумы:
— точка перегиба. 
откуда следует, что x = 1 является асимптотой графика функции (единственная асимптота).
Отсюда 
и 
Построим таблицу монотонности (смотри рисунок). Функция, определенная на ℝ, может либо принимать свое максимальное (минимальное) значение в некоторой точке максимума (минимума), либо, уходя в бесконечность (т. е. бесконечно возрастая или бесконечно убывая), не достигать максимального или минимального значения. В данном случае при 
и 
Значит, предельное значение функции, равное 1, меньше ее значения 2,5 в единственной точке максимума и больше значения −0,5 в единственной точке минимума. Отсюда следует, что при 
для значений функции у выполняются неравенства 
На рисунке изображен график заданной функции.
или же просто 
У нее нет асимптот. 
положительна при 
и отрицательна при 
поэтому сама функция возрастает при 
и убывает при 
Следовательно, 
— ее точка минимума, 
и отрицательна при 
поэтому функция выпукла вверх при 
и выпукла вниз при 
Точка 
— ее точка перегиба
проходит через начало координат, то значение функции при 
Искомая первообразная — 
а производная равна
Производная в точке 
равна нулю. Функция определена на всем множестве вещественных чисел. Найдем корни:
Также 
Осталось нарисовать эскиз графика.
или 
определена и дифференцируема на 
Найдем точки, в которых производная обращается в нуль. Имеем: 
На рисунке изображен график заданной функции 
и прямая l.
откуда 
Асимптот график не имеет. Возьмем производную
Возьмем вторую производную 
График изображен на рисунке.
Для этого решим уравнение:
пересекает график функции при 
ее график лежит ниже секущей. Поэтому 
поэтому 
Кроме того 
поэтому уравнение касательной имеет вид 
то есть 
— касательная горизонтальна.
поймем, что ее корни 
У нее нет асимптот. Ее производная 
отрицательна при 
поэтому cама функция убывает при 
и при 
и возрастает при 
Следовательно, 
Ее вторая производная 
положительна при 
откуда 
тогда 
Первая заодно будет точкой пересечения с осью ординат.
и отрицательно при 
или 
Значит, 
возрастает при 
и убывает при 
Возьмем вторую производную 
что отрицательно при 
имеет только корень 4, при этом 
и положительно на отрезке 
значит, исходная функция возрастает на 
и убывает на 
Поэтому наибольшее значение у нее 
а наибольшее достигается в одном из концов отрезка:
получим, что единственный ее корень это 
поэтому функция выпукла вверх. Осталось построить график. 
пересекается с осью y в единственной точке — (0; 5).
поэтому 
только при 
откуда 
при этом 
поэтому таких корней нет, а 
лежит на указанном отрезке (
).
что положительно при 
и отрицательно при 
исходная функция возрастает при 
При этом 
Значит, она принимает все значения из промежутка 
что положительно при 
и отрицательно при 
поэтому функция выпукла вверх при 
и выпукла вниз при 
— точка перегиба.
нечетна. Ее график симметричен относительно начала координат. Решим уравнение y = 0: 
и 
Промежутки знакопостоянства отметим на рисунке. 
на отрезке 
Минимум достигается в точках −3: 
График функции изображен на рисунке. 
и 
Функция, очевидно, является четной. 
и 
Поэтому функция убывает на промежутках 
и 
возрастает на промежутках 
и 
— точки максимума. При этом 
определена и дифференцируема на ℝ. Тогда производная будет равна
Функция f(x) — нечетная, так как 
Теперь найдем первообразную, применив интегрирование по частям
при 
На 
производная положительна, следовательно, функция возрастает. На 
производная отрицательна, следовательно, функция убывает.