Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 30 № 3409
i

x y
0
1
2

За­да­но функцію y=x в кубе минус 3x в квад­ра­те плюс 2.

1. Для на­ве­де­них у таб­лиці зна­чень ар­гу­ментів х визна­чте відповідні їм зна­чен­ня (див. таб­ли­цю).

2. Визна­чте та запишіть ко­ор­ди­на­ти точок пе­ре­ти­ну графіка y=x в кубе минус 3x в квад­ра­те плюс 2 з віссю y .

3. Знайдіть похідну f' функції f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =x в кубе минус 3x в квад­ра­те плюс 2.

4. Визна­чте нулі функції f' .

5. Визна­чте проміжки зрос­тан­ня та спа­дан­ня, точки екс­тре­му­му функції f .

6. По­бу­дуй­те ескіз графіка функції f на відрізку левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; 3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Най­дем зна­че­ния функ­ции в ука­зан­ных точ­ках. Имеем:

y левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 в кубе минус 3 умно­жить на 0 в квад­ра­те плюс 2=2;

y левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =1 в кубе минус 3 умно­жить на 1 в квад­ра­те плюс 2=1 минус 3 плюс 2=0;

y левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =2 в кубе минус 3 умно­жить на 2 в квад­ра­те плюс 2=8 минус 12 плюс 2= минус 2.

Гра­фик y=x в кубе минус 3x в квад­ра­те плюс 2 пе­ре­се­ка­ет­ся с осью y в един­ствен­ной точке  — (0; 2).

При­ве­дем функ­цию к виду y=x в кубе минус 3x в квад­ра­те плюс 2= левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 2x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , по­это­му y имеет корни x=1 и x=1\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та (корни вто­ро­го мно­жи­те­ля), при этом 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та мень­ше 1 минус 1,5= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , по­это­му не лежит на ука­зан­ном от­рез­ке.

По­сколь­ку f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка x в кубе минус 3x в квад­ра­те плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка '=3x в квад­ра­те минус 6x=3x левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , что по­ло­жи­тель­но при x мень­ше 0 и при x боль­ше 2, но от­ри­ца­тель­но при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0;2 пра­вая круг­лая скоб­ка , ис­ход­ная функ­ция воз­рас­та­ет при x мень­ше или равно 0 и при x боль­ше или равно 2, и убы­ва­ет при x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0;2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . При этом f левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка =2, f левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 2, f левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =2, f левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = целая часть: 1, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 . Зна­чит, она при­ни­ма­ет все зна­че­ния из про­ме­жут­ка  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2;2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Вто­рая про­из­вод­ная f'' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка x в кубе минус 3x в квад­ра­те плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка ''= левая круг­лая скоб­ка 3x в квад­ра­те минус 6x пра­вая круг­лая скоб­ка '=6x минус 6=6 левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , что по­ло­жи­тель­но при x боль­ше 1 и от­ри­ца­тель­но при x мень­ше 1, по­это­му функ­ция вы­пук­ла вверх при x мень­ше 1 и вы­пук­ла вниз при x боль­ше 1, f левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0  — точка пе­ре­ги­ба. Гра­фик пред­став­лен на ри­сун­ке, мно­же­ство зна­че­ний  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2;2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Классификатор алгебры: 13\.3\. Мо­но­тон­ность и экс­тре­му­мы функ­ции , 14\.4\. По­стро­е­ние гра­фи­ка функ­ции при по­мо­щи про­из­вод­ной