| x | y |
|---|---|
| −1 | |
| 0 | |
| 1 |
Задано функцію
1. Для наведених у таблиці значень аргументів х визначте відповідні їм значення у (див. таблицю).
2. Знайдіть похідну f' функції
3. Визначте нулі функції f' .
4. Визначте проміжки зростання та спадання, точки екстремуму функції f .
5. Знайдіть кількість значень функції
6. Побудуйте ескіз графіка функції f .
Найдем значения функции в указанных точках. Имеем:
Область определения функции — множество ℝ. Исследуем функцию.
1) 
откуда следует, что x = 1 является асимптотой графика функции (единственная асимптота).
2) Преобразуем дробь, задающую функцию y: 
Отсюда 
3) Критические точки функции: 
и 
Построим таблицу монотонности (смотри рисунок). Функция, определенная на ℝ, может либо принимать свое максимальное (минимальное) значение в некоторой точке максимума (минимума), либо, уходя в бесконечность (т. е. бесконечно возрастая или бесконечно убывая), не достигать максимального или минимального значения. В данном случае при 
и 
Значит, предельное значение функции, равное 1, меньше ее значения 2,5 в единственной точке максимума и больше значения −0,5 в единственной точке минимума. Отсюда следует, что при 
для значений функции у выполняются неравенства 
На рисунке изображен график заданной функции.