Всего: 40 1–20 | 21–40
Добавить в вариант
Основою піраміди SABCD є ромб ABCD, більша діагональ якого АС = 30. Грань SBC є рівнобедреним трикутником (SB = SC) і перпендикулярна до площини основи піраміди. Ребро SC нахилено до площини основи піраміди під кутом 30°. Визначте кут між площинами (SAD) і (АВС), якщо висота піраміди дорівнює 5.
(это и есть угол между SC и плоскостью основания, поскольку проекцией SC будет MC), 
Тогда 
также 
Плоскости ABCD и SAD пересекаются по прямой AD. Опустим на нее перпендикуляр из точки M. Допустим, он упадет в точку N. Тогда 
по теореме о трех перпендикулярах. Значит 
поэтому 
Основою піраміди SABC є гострокутний рівнобедрений трикутник ABC, AB = BC = 18. Грані SAC i SAB перпендикулярні до площини основи піраміди, а ребро SB нахилене до неї під кутом 30°. Визначте кут між площинами (SBC) i (ABC), якщо площа основи піраміди дорівнює 72.
Тогда 
У правильній чотирикутній піраміді SABCD з точки O, яка є основою висоти SO, до бічного ребра SA проведено перпендикуляр OM довжиною 
Двогранний кут при бічному ребрі піраміди дорівнює 120°.
1. Доведіть, що пряма SA перпендикулярна до площини BMD.
2. Знайдіть об'єм піраміди SABCD.
OM и SA перпендикулярны BD по теореме о трех перпендикулярах, поскольку проекцией AS на плоскость основания будет прямая AO, то есть прямая AC, но 
как диагонали квадрата. Итак, прямая AS перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости BMD и потому перпендикулярна всей плоскости.
а 
поэтому 
а так как у квадрата диагональ в 
раз больше стороны, значит сторона квадрата ABCD равна 18. 
и 
Основою піраміди SABCD є паралелограм ABCD з гострим кутом А. Ребро SB перпендикулярне до прямих AB і BC. Проекцією ребра SD на площину основи піраміди є відрізок довжиною 10 см, який утворює зі стороною AD кут: 30°. Визначте кут між площинами (SAD) і (ABC). якщо SD = 15 см.
и 
получаем что 
Тогда проекция SD на плоскость основания это BD, то есть 
см. В прямоугольном треугольнике SBD по теореме Пифагора находим 
по теореме о трех перпендикулярах. Значит, 
На рисунку зображено куб ABCDA1B1C1D1. До кожного початку речення (1—4) доберіть його закінчення (А—Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
1. Пряма CB
2. Пряма CD1
3. Пряма AC
4. Пряма A1B
А паралельна площині AA1B1B
Б перпендикулярна до площини AA1B1B
В належить площині AA1B1B
Г має з площиною AA1B1B
Д утворює з площиною AA1B1B кут 45°
Итак, 1 — Б.
Таким образом, 2 — А.
Прямая BA — проекция AC на плоскость ABA1,
Итак, 3 — Д. Осьовим перерізом циліндра є прямокутник ABCD, сторона AD якого лежить у нижній основі циліндра. Діагональ AC перерізу утворює з площиною верхньої основи циліндра кут β. Діаметр основи циліндра дорівнює d.
1. Зобразіть на рисунку заданий циліндр і його осьовий переріз ABCD.
2. Укажіть кут β, що утворює пряма AC з площиною верхньої основи циліндра.
3. Визначте об’єм циліндра.
поэтому 
Осьовим перерізом циліндра є прямокутник ABCD, сторона AD якого лежить у нижній основі циліндра. Діагональ АС перерізу утворює з площиною верхньої основи циліндра кут β. Діаметр основи циліндра дорівнює d. На колі нижньої основи вибрано точку K так, що відрізок AK видно з точки D під кутом 30°.
1. Зобразіть на рисунку заданий циліндр і вкажіть кут у між площиною (CKA) і площиною нижньої основи. Обґрунтуйте його положення.
2. Визначте кут γ.
а 
поскольку опирается на диаметр, то 
Значит, 
Осьовим перерізом циліндра є прямокутник ABCD, сторона AD якого лежить в нижній основі циліндра. Діагональ AC перерізу дорівнює d й утворює з площиною нижньої основи циліндра кут β.
1. Зобразіть на рисунку заданий циліндр і його осьовий переріз ABCD.
2. Укажіть кут β, що утворює пряма АС із площиною нижньої основи циліндра.
3. Визначте об’єм циліндра.
поэтому 
Осьовим перерізом циліндра є прямокутник ABCD, сторона AD якого лежить у нижній основі циліндра. Діагональ AC перерізу дорівнює d й утворює з площиною нижньої основи циліндра кут β. На колі нижньої основи вибрано точку K так, що градусна міра дуги AK дорівнює 90°.
1. Зобразіть на рисунку заданий циліндр і вкажіть кут у між площиною (KBD) і площиною нижньої основи циліндра. Обґрунтуйте його положення.
2. Визначте кут γ.
У правильній чотирикутній піраміді SABCD плоский кут при вершині S піраміди дорівнює β. Довжина апофеми піраміди дорівнює 6.
1. Зобразіть на рисунку задану піраміду й укажіть лінійний кут γ двогранного кута при її бічному ребрі. Обґрунтуйте його положення.
2. Визначте кут γ.
от этого треугольник заменится на подобный, поэтому углы не изменятся. У нового треугольника стороны будут 
и тогда
Відповідно до умови завдання 31 (№ 1357) у правильній чотирикутній піраміді SABCD з основою ABCD бічне ребро утворює з площиною основи кут β. Довжина бічного ребра дорівнює 12.
1. Зобразіть на рисунку правильну чотирикутну піраміду SABCD та укажіть лінійний кута β двогранного кута при ребрі основи цієї піраміди. Обґрунтуйте його положення.
2. Визначте кута β.
Тогда и проекция SM на плоскость основания ABCD (то есть отрезок OM) по теореме о трех перпендикулярах будет перпендикулярен AB. Значит, 
У правильній чотирикутній піраміді SABCD з основою ABCD бічне ребро утворює з площиною основи кут α. Довжина бічного ребра дорівнює 12.
1. Зобразіть на рисунку правильну чотирикутну піраміду SABCD та позначте кут α між бічним ребром SА та площиною основи піраміди.
2. Визначте довжину висоти піраміди.
3. Знайдіть об’єм піраміди SABCD.
В прямоугольном треугольнике SAO тогда 
У квадрата диагональ в 
а площадь боковой поверхности 
Из условия имеем: 
Поскольку 
и 
по теореме о трех перпендикулярах 
Поскольку 
угол 
является линейным углом двугранного угла между плоскостями SMK и 
Тогда 
Площа бічної поверхні конуса в
разів більше площі основи. Знайдіть кут між утворюючим конусом і площиною основи. Відповідь дайте у градусах.
Значит, угол α равен 45°.
Выразим высоту SO пирамиды из прямоугольного треугольника SOL, получим: 
Выразим высоту SO пирамиды из прямоугольного треугольника SOB, получим:
3) 
Выразим высоту SO пирамиды из прямоугольного треугольника SOL, получим: 
Выразим высоту SO пирамиды из прямоугольного треугольника SOB, получим:
3) 
Відповідно до умови завдання 31 (№ 3482) сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює 3. Бічні ребра нахилені до основи під кутом α.
а) Зобразіть на малюнку цю піраміду та побудуйте лінійний кут двогранного кута при бічному ребрі.
б) Знайдіть цей кут.
то есть прямые AK и CK суть перпендикуляры к ребру двугранного угла между плоскостями SBA и SBC, а потому угол AKC — линейный угол двугранного угла при боковом ребре. Обозначим его δ.
откуда
3) 
Відповідно до умови завдання 31 (№ 3484) сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює 4. Бічні ребра нахилені до основи під кутом α.
а) Зобразіть на малюнку цю піраміду та побудуйте лінійний кут двогранного кута при бічному ребрі.
б) Знайдіть цей кут.
Выразим боковое ребро SB пирамиды из прямоугольного треугольника SOB, получим:
3) 
Відповідно до умови завдання 31 (№ 3486) сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює 4. Бічні грані нахилені до основи під кутом β.
а) Зобразіть на малюнку цю піраміду та побудуйте лінійний кут двогранного кута при бічному ребрі.
б) Знайдіть цей кут.
поэтому 
Выразим апофему SL пирамиды из прямоугольного треугольника SOL, получим:
3) 
Відповідно до умови завдання 31 (№ 3488) сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює 5. Бічні грані нахилені до основи під кутом β.
а) Зобразіть на малюнку цю піраміду та побудуйте лінійний кут двогранного кута при бічному ребрі.
б) Знайдіть цей кут.
Выразим апофему SL пирамиды из прямоугольного треугольника SOL, получим:
3) 