Прямi l, m i n лежать в однiй площинi (див. рисунок). Визначте градусну мiру кута α.
Копіювальна машина робить 3 копії за 4 секунди. Яку максимальну кількість копій можна одержати за 1 хвилину?
Яке з наведених чисел є коренем рівняння 
Сума довжин усіх ребер куба дорівнює 72 см. Визначте довжину одного ребра цього куба.
На рисунку зображено графік функції y=f(x) визначеної на проміжку [−2; 4]. Укажіть нуль цієї функції.
Розв’яжіть рівняння 
На вершину гори ведуть 5 доріг. Скільки всього є варіантів вибору маршруту підйому на вершину гори однією дорогою, а спуску — іншою?
Які з наведених тверджень є правильними?
I. Діагоналі будь-якого ромба ділять його кути навпіл.
II. Діагоналі будь-якого чотирикутника точкою перетину діляться навпіл.
III. Діагоналі будь-якого квадрата перпендикулярні.
На якому з рисунків зображено ескіз графіка функці 
Радіус основи конуса дорівнює r, твірна — l. Твірна утворює з висотою конуса кут 60° (див. рисунок). Визначте
Розкладіть вираз 
на множники.
Графік довільної функції 
паралельно перенесли вздовж осі у на 3 одиниці вниз. Графік якої з наведених функцій отримали?
Спростiть вираз 
Розв’яжіть систему нерівностей 
Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння 
Скiльки всбого цiлих чисел мiстить iнтервал 
?
На рисунку зображено прямокутник і трикутник, що є гранями правильної трикутної призми. Периметр цього прямокутника дорівнює 38 см. Визначте площу основи цієї призми, якщо довжина висоти призми дорівнює 11 см.
Каркас колеса огляду складається з двох однакових кіл, до яких прикріплено 18 кабінок на однаковій відстані одна від одної, та ребер (радіусів кіл), що з’єднують місця прикріплення кабінок та центри кіл (див. рисунок). Довжина кожного ребра дорівнює 27 м. Визначте довжину дуги AB кола із центром у точці О. Укажіть відповідь, найближчу до точної.
Товщиною каркасу знехтуйте. 3,2 м.
Функція 
є первісною функці f(x). Укажіть функцію G(x) яка також є первісною функції f(x).
До кожного початку речення (1−3) доберіть його закінчення (А−Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
1. Функція 
2. Функція 
3. Функція 
А спадає на проміжку 
Б не визначена в точці x = 1.
В є парною.
Г набуває додатного значення в точцi x = −3.
Д є непарною.
Установіть відповідність між виразом (1−3) та тотожно рівним йому виразом (А−Д), якщо а — довільне від’ємне число.
1. a0
2. 
3. 
А 0
Б 2a
В a2
Г 1
Д −2a
Бічні сторони АВ та СD прямокутної трапеції АВСD дорівнюють 6 см і 10 см відповідно. Менша діагональ трапеції лежить на бісектрисі її прямого кута (див. рисунок). Установіть відповідність між відрізком (1−3) та його довжиною (А−Д).
1. основа ВС
2. проекція сторони СD на пряму АD
3. середня лінія трапеції АВСD
А 6 см
Б 8 см
В 
Г 10 см
Д 14 см
Установіть відповідність між вимірами циліндра (1−3) та правильним щодо нього твердженням (А−Д).
1. радіус основи дорівнює 6, висота — 4
2. радіус основи дорівнює 2, висота — 6
3. радіус основи дорівнює 4, висота — 6
А циліндр утворено обертанням прямокутника зі сторонами 4 та 6 навколо більшої сторони
Б площа основи циліндра дорівнює 12π
В твірна циліндра дорівнює 4
Г площа бічної поверхні циліндра дорівнює 24π
Д об'єм цилiндра дорівнює 48π
Вартість оренди автомобіля бюджетного класу складається з основної плати та додаткової плати за понаднормовий пробіг. За перевищення норми пробігу (50 км за одну добу) нараховують додаткову плату в розмірі 6 грн за кожен понаднормовий кілометр. Пробіг автомобіля, орендованого на 6 діб, становить 420 км.
1. Яку суму грошей Р (у грн) становитиме додаткова плата за понаднормовий пробіг орендованого автомобіля?
2. Основна плата за оренду автомобіля є фіксованою й становить 400 грн за кожну добу. Скільки відсотків від основної плати за 6 діб становить сума грошей Р?
На рисунку зображено прямокутник АВСD та два кола, що мають зовнішній дотик. Коло із центром у точці О1 дотикається сторін АВ, ВС та АD, а коло із центром у точці О2 проходить через вершини С та D. Відстані від точки О2 до вершини С та сторони СD дорівнюють 20 см та 12 см відповідно.
1. Визначте радiус меншого кола (у см).
2. Обчисліть площу трикутника DO1C (у см2).
В арифметичній прогресії (an) відомо, що 
1. Визначте рiзницю d цiєї прогресiї.
2. Визначте перший член a1 цiєї прогресiї, якщо її третiй член 
Човен проплив 18 км проти течії річки, витративши вдвічі менше часу, ніж на подолання 48 км за течією. Власна швидкість човна є сталою. Визначте власну швидкість човна (у км/год), якщо швидкість течії дорівнює 2,5 км/год.
У першому рядку таблиці наведено значення температури повітря, яку вимірювали на метеостанції через кожні 3 години впродовж доби. У другому рядку зазначено частоту фіксувань відповідного значення температури впродовж доби. За даними метеостанції визначте середню температуру (у °С) протягом цієї доби.
| Температура, °С | 12 | 15 | 17 | 18 |
|---|---|---|---|---|
| Частота фіксувань | 1 | 4 | 2 | 1 |
Висота правильної чотирикутної пiрамiди дорiвнює 12 см, апофема — 13 см.
Обчисліть об'єм (у см3) цiєї пiрамiди.
Для участі в роботі студентської ради з кожної з двох груп навмання вибирають по 1 студенту. Серед 24 студентів першої групи проживають у гуртожитку 6 студентів, а серед 28 студентів другої групи — 14 студентів. Яка ймовірність того, що обидва вибрані для роботи в раді студенти будуть з тих, хто проживає в гуртожитку?
2. У прямокутній системі координат ху на площині коло задано рівнянням 
. Центр О цього кола збігається з точкою перетину діагоналей паралелограма АВСD. Визначте координати вершини 
, якщо вектор 
. У відповіді запишіть добуток 
.
Задано функції 
та 
Завдання (1−3) виконайте на одному рисунку.
1. Побудуйте графік функції f.
2. Побудуйте графік функції g на проміжку 
3. Позначте на рисунку точку, що є спільною для обох побудованих графіків
функцій f і g ,і запишіть її координати.
4. Знайдіть множину всіх коренів рівняння 
на інтервалі (−∞; +∞).
У прямокутному паралелепіпеді АВСDА1B1C1D1 через сторону АD нижньої основи й середину ребра B1C1 проведено площину γ. Висота паралелепіпеда дорівнює 18, грань CC1D1D є квадратом. Діагональ паралелепіпеда утворює з площиною основи кут α.
1. Побудуйте переріз паралелепіпеда АВСDА1B1C1D1 площиною γ.
2. Укажіть вид перерізу та обґрунтуйте свій висновок.
3. Визначте площу перерізу.
5. Задано рівняння 
0, де х — змінна, а — стала.
1. Розв’яжітьрівняння 
2. Розв’яжіть задане рівняння залежно від значень а.
Теперь можно найти третий угол изображенного треугольника 
Тогда 
как вертикальный.
секунды можно сделать 
копий.
см.
поэтому 
и 
вариантов пути.
определена при всех x и убывает. Соответствующим графиком поэтому может быть только номер 2.
Второе равносильно 
или 
что выполняется автоматически при 
— общий ответ на систему. Итак, 
и 
на указанном промежутке лежат 6 целых чисел: 3, 4, 5, 6, 7, 8.
см
см2.
м
м
является первоначальной функции f(x). Формула, задающая все первоначальные функции f(x), имеет вид 
где C — любое число. 
также является первоначальной функции f(x).
не определена в точке 
оно равно 1. Таким образом, 2 — Г.
симметричен относительно точки начала координат, следовательно, функция является нечетной. В таком случае 
Следовательно, 3 — Д.
Таким образом, 1 — Г.
По определению модуля: 
Таким образом, 3 — B.
— прямой, так как AC — биссектриса, углы 
и 
равны 45°, треугольник ABC — равнобедренный, значит, 
Ответ — А.
Итак, 2 — Г. 
километров. За него придется заплатить 
гривен. Основная плата за 6 cуток составит 
гривен. От этой суммы 720 гривен составят 
см
см
см
Кроме того, 
то есть 
ч. Тогда время, затраченное на 18 километров против течения, равно 
часов, а на 48 километров по течению — 
По условию
см3.
Значит, координаты центра этой окружности — 
Поскольку диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, 
Поэтому координаты точки C будут 
будет горизонтальная прямая. Часть стандартного графика 
также построена на рисунке. Общей точкой будет 
и только она — при 
функция 
Это стандартное тригонометрическое уравнение с ответом 
4. 
поэтому AD и B1C1 лежат в одной плоскости. Очевидно это и есть плоскость γ — она содержит указанные в условии точку и прямую. Итак, сечением будет прямоугольник AB1C1D. То, что это параллелограмм, следует из того, что 
и 
кроме того, 
и 
значит, 
а потому 
Найдем его площадь. 
то 
так как диагональ квадрата в 
раз больше стороны.
Тогда в прямоугольном треугольнике ADC находим 
або 
нет корней. Также нужно проверить, будет ли одно из подкоренных выражений неотрицательно, они равны друг другу для такого x, поэтому неотрицательность второго можно не проверять:
Теперь выясним, когда корнем будет 
Для этого должны быть неотрицательны оба подкоренных выражения, то есть 
и 
откуда 
второе дает 
это более слабое условие. Наконец выясним, когда эти корни совпадают: 
то рівняння коренів не має; 
то 
то 