Всего: 137 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 3 см, а сторона ї основи 12 см. Знайдіть довжину бічного ребра піраміди.
см
см
см, 
Навколо конуса описано трикутну піраміду, площа основи якої дорівнює 
а периметр основи — 50. Визначте об'єм V цього конуса, якщо довжина його твірної дорівнює 4. У відповіді запишіть знауення 
и периметром 50. По формуле для радиуса вписанной окружности находим 
На рисунку зображено п’ять прямокутників (А−Д) та зазначено довжини їхніх сторін.
1. площа прямокутника дорівнює 48
2. периметр прямокутника дорівнює 14
3. кут між діагоналями прямокутника дорівнює 60°
4. діагональ прямокутника дорівнює 14
где a и b — соседние стороны. Только 
между ними они разбивают прямоугольник на треугольники, один из которых равнобедренный с углом 
следовательно равносторонний. 
откуда 
Это верно только для прямоугольника 
Бічна грань правильної чотирикутної піраміди нахилена до площини основи під кутом 60°. Визначте об'єм (у см3) цієї піраміди, якщо радіус вписаної в неї кулі дорівнює 3 см.
угол между гранью SAB и основанием пирамиды имеет 
своим линейным углом, поэтому 
аналогично 
), а сечение ею же шара - круг, вписанный в этот треугольник. Обозначим сторону этого треугольника за 
тогда его высота (она же медиана) по теореме Пифагора равна 
Точка пересечения медиан (в равностороннем треугольнике она заодно - центр вписанной окружности) делит ее в отношении 
поэтому радиус вписанной окружности равен 
откуда 
Тогда 
На рисунках (1−5) наведено інформацію про п’ять трикутників.
Установіть відповідність між запитанням (1−4) та правильною відповіддю на нього (А−Д).
1. На якому рисунку зображено трикутник, у якого центри вписаного й описаного кіл збігаються?
2. На якому рисунку зображено трикутник, один із внутрішніх кутів якого дорівнює 30°?
3. На якому рисунку зображено трикутник, площа якого дорівнює 10 см2?
4. На якому рисунку зображено трикутник, у якого діаметр описаного навколо нього кола дорівнює 
см?
А Рис. 1
Б Рис. 2
В Рис. 3
Г Рис. 4
Д Рис. 5
У пятого один угол тупой, а у двух других нетрудно найти тангенсы, они равны 
и 
поэтому углы также не равны 30°. Итак, подходит только третий.
см2. Площадь второго 
см2. У третьего второй катет больше 5, так как он лежит против большего угла, поэтому площадь его больше, чем 
см2. У четвертого сторона напротив угла 60° больше, чем сторона напротив угла 45°, поэтому его площадь больше чем 
см2.
где α — угол напротив стороны длиной a в треугольнике. Тогда в первом треугольнике 
и 
затем синус одного из углов 
и, наконец, 
У ромб ABCD вписано коло 3 центром у точці O, яке дотикається сторін AB і AD у точках K і M відповідно (див. рисунок). Периметр ромба дорівнюе 48 см,
1. Довжину відрізка OB (у см).
2. Довжину відрізка KM (у см).
см. Кроме того, треугольник ABD — равнобедренный с углом 60°, значит он равносторонний. Тогда 
см,
см.
поскольку радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, это высота данного треугольника. Вычислим ее через площадь:
см.
см. Ясно, что точка M делит сторону AD в том же отношении, что и точка K — сторону AB, поэтому треугольники AMK и ABD подобны с коэффициентом 
О6'єм тіла, утвореного обертанням рівнобедреного трикутника навколо висоти, проведеної до його основи, дорівнює 320π см3. Обчисліть довжину бичної сторони цього трикутника (у см), якщо його основа дорівнює 16 см.
см. Объем конуса вычисляется по формуле 
откуда 
Тогда боковая сторона треугольника, она же образующая конуса, по теореме Пифагора равна 
Екрани телевізорів, зображених на рис. 1 і 2, мають форму прямокутників, відповідні сторони яких пропорційні. Діагоналі екранів цих телевізорів дорівнюють відповідно 32 дюйма і 48 дюймів. Визначте, у скільки разів площа екрана телевізора, зображеного на рис. 2, більша за площу екрана телевізора, зображеного на рис. 1.
тогда
Значит отношение площадей равно 
На рисунку зображено коло з центром у точці О, радіус якого дорівнює 6. Хорду ВС видно з центра кола під кутом 60°, ВК — діаметр. Через точку А до кола проведено дотичну АВ, причому АО=2АВ. Установіть відповідність між відрізком (1−4) та його довжиною (А−Д).
1. BK
2. AB
3. BC
4. CK
А 
Б 6
В 
Г 
Д 12
Таким образом, 1 — Д. 
— прямой. В прямоугольном треугольнике ABO длина катета BO равна 6, а гипотенуза 
Применив теорему Пифагора, получим: 
получим такой же результат, так как известно, что гипотенуза вдвое больше катета, противолежащего углу, градусная мера которого равна 30°. Найдем AB:
поэтому треугольник BOC — равносторонний. Отсюда BC = 6, таким образом, 3 — Б. 
опирается на диметр окружности, поэтому 
отсюда BCK — прямоугольный. Так как BK = 12, 
найдем CK:
На рисунку зображено квадрат АВСD, сторона якого дорівнює 15. На сторонах АD і ВС квадрата вибрано точки К i М так, що АК = 4, МС = 3.
1. Визначте вiдстань мiж серединами вiдрiзкiв AB i KM.
2. Обчислiть довжину вiдрiзка KM.
Основою піраміди SABCD є ромб ABCD, більша діагональ якого АС = 30. Грань SBC є рівнобедреним трикутником (SB = SC) і перпендикулярна до площини основи піраміди. Ребро SC нахилено до площини основи піраміди під кутом 30°. Визначте кут між площинами (SAD) і (АВС), якщо висота піраміди дорівнює 5.
(это и есть угол между SC и плоскостью основания, поскольку проекцией SC будет MC), 
Тогда 
также 
Плоскости ABCD и SAD пересекаются по прямой AD. Опустим на нее перпендикуляр из точки M. Допустим, он упадет в точку N. Тогда 
по теореме о трех перпендикулярах. Значит 
поэтому 
У прямокутнику ABCD: AB = 6 см, BC = 8 см (див. рисунок). На сторонах AB, BC і AD цього прямокутника вибрано точки К, M і N так, що AK = KB, BM = MC,
До кожного початку речення (1—4) доберіть його закінчення (А—Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
1 Відстань від середини відрізка КМ до сторони AD дорівнює
2 Відстань від точки перетину діагоналей прямокутника ABCD до точки K дорівнює
3 Довжина відрізка KM дорівнює
4 Довжина відрізка KN дорівнює
А 4,5 см
Б 5 см
В 4 см
Г 3,75 см
Д 3,5 см
см. Значит MHAK — прямоугольная трапеция и ее средняя линия (расстояние от середины KM до AD) равна 
и 
Периметр основип равильної чотирикутної піраміди дорівню є 72 см. Визначте довжину висоти піраміди, якщо її апофем а дорівню є 15 см.
см. Значит боковая грань — равнобедренный треугольник с основанием 18 см и высотой к основанию 15 см. Тогда боковое ребро пирамиды по теореме Пифагора равно 
раз больше стороны, значит диагональ основания равна 
см, а ее половина — 
Пусть S — ее вершина, A — вершина основания, O — центр основания. Тогда в треугольнике ACO по теореме Пифагора находим 
На рисунку зображено поперечний переріз аркового проїзду, верхня частина якого (дуга BKC) має форму півкола радіуса OC = 2 м. Відрізки AB і DC перпендикулярні до AD,
м.
м
(радиус окружности) и по теореме Пифагора 
метра грузовик начнет задевать арку. Значит нужно выбрать наибольшее 
из представленных. Очевидно это 3,5.Радіус основи конуса дорівнює r, а твірна — l. До кож ного початку речення (1−4) доберіть його закінчення (А−Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
1. Якщо площа бічної поверхні конуса втричі більш а за площу його основи, то
2. Якщо висота конуса дорівню є радіусу його основи, то
3. Якщо проекція твірної на площину основи конуса удвічі менша за твірну, то
4. Якщо площа повної поверхні конуса дорівню є 5πr2, то
А 
Б 
В 
Г 
Д 
Если она втрое больше площади основания, равной 
то 
откуда 
то 
то 
из нее приходится на площадь основания, а 
— на боковую поверхность, откуда 
Визначте площу бічної поверхні правильної трикутної піраміди, довжина сторони основи якої дорівнює 10 см, а довжина бічного ребра — 13 см.
см2
см2
см2
см2На рисунку зображено прямокутник ABCD і кругові сектори KAM та BCP, що мають одну спільну точку О. Площа сектора BCP дорівнює 9π см2, АО = 4 см.
1. Визначте радіус сектора BCP (у см).
2. Обчисліть площу прямокутника ABCD (у см2).
По условию 
см
см.
см
см2.У циліндрі з центрами основ О і O1 проведено хорду АB в нижній основі (днв. рисунок).
Площа основи циліндра дорівнює 9π. Установіть відповідність між величиною (1−4) та її значенням (А−Д).
1. радiус основи цилiндра
2. довжина хорди AB
3. висота цилiндра
4. об'єм пiрамiди O1AOB
А 
Б 3
В 
Г 
Д 
Тогда: 
— радиус основания цилиндра. Следовательно, 1 — B.
равна 90°, 
как радиусы окружности, поэтому треугольник AOB — прямоугольный, а также равносторонний. Воспользуемся теоремой Пифагора: 
следовательно, 
откуда 
Таким образом, 2 — Г.
найдем высоту цилиндра OO1. Так как 
получаем: 
Сперва вычислим площадь треугольника AOB: 
Основою піраміди SABCD є паралелограм ABCD з гострим кутом А. Ребро SB перпендикулярне до прямих AB і BC. Проекцією ребра SD на площину основи піраміди є відрізок довжиною 10 см, який утворює зі стороною AD кут: 30°. Визначте кут між площинами (SAD) і (ABC). якщо SD = 15 см.
и 
получаем что 
Тогда проекция SD на плоскость основания это BD, то есть 
см. В прямоугольном треугольнике SBD по теореме Пифагора находим 
по теореме о трех перпендикулярах. Значит, 
На рисунку зображено фрагмент поперечного перерiзу стiни (прямокутник KLMN) з арковим прорiзом ABFCD, верхня частина BFC якого є дугою кола радiуса 1 м. Вiдрiзки AB i DC перпендикулярнi до AD, AB = DC = 2 м. AD = 1,6 м, KL = 2,75 м. Визначте вiдстань d вiв найвищої точки F прорiзу до стелi LM.
м
м
м
м.