Центр впи­сан­ной и опи­сан­ной окруж­но­стей сов­па­да­ют толь­ко у рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка. Из этих тре­уголь­ни­ков рав­но­сто­рон­ний толь­ко пер­вый, так как он яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным с углом 60°.

У пер­во­го тре­уголь­ни­ка все углы по 60°. У вто­ро­го — 90°, 45°, 45°. У тре­тье­го ги­по­те­ну­за вдвое боль­ше ка­те­та, по­это­му на­про­тив этого ка­те­та лежит угол 30°. У чет­вер­то­го два угла даны, а тре­тий равен У пя­то­го один угол тупой, а у двух дру­гих не­труд­но найти тан­ген­сы, они равны и по­это­му углы также не равны 30°. Итак, под­хо­дит толь­ко тре­тий.

Пло­щадь пер­во­го тре­уголь­ни­ка равна см². Пло­щадь вто­ро­го см². У тре­тье­го вто­рой катет боль­ше 5, так как он лежит про­тив боль­ше­го угла, по­это­му пло­щадь его боль­ше, чем см². У чет­вер­то­го сто­ро­на на­про­тив угла 60° боль­ше, чем сто­ро­на на­про­тив угла 45°, по­это­му его пло­щадь боль­ше чем

На­ко­нец у пя­то­го ос­но­ва­ние имеет длину 10, а вы­со­та — длину 2, по­это­му его пло­щадь как раз равна см².

По тео­ре­ме си­ну­сов где α — угол на­про­тив сто­ро­ны дли­ной a в тре­уголь­ни­ке. Тогда в пер­вом тре­уголь­ни­ке

а в чет­вер­том

У пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков диа­мет­ром слу­жит ги­по­те­ну­за, по­это­му тре­уголь­ни­ки 2 и 3 не под­хо­дят. На­ко­нец у по­след­не­го можно найти по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра осталь­ные сто­ро­ны, по­лу­чит­ся и затем синус од­но­го из углов и, на­ко­нец,

Ответ: 1 — А, 2 — В, 3 — Д, 4 — Г.