СКЛАДУ ЗНО, математика: завдання, відповіді, рішення

Решение.

Опустим перпендикуляр MH на сторону AD. Тогда MHDC — прямоугольник, $MH=CD=AB=6$ см. Значит MHAK — прямоугольная трапеция и ее средняя линия (расстояние от середины KM до AD) равна

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка AK плюс MH правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AB плюс 6 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 3 плюс 6 правая круглая скобка = дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби =4,5 см.$

Поскольку диагонали ABCD пересекаются в их общей середине O, можно искать расстояние OK как среднюю линию треугольника BAD. Она равна

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 8=4 см.$

По теореме Пифагора

$KM= корень из: начало аргумента: KB в квадрате плюс BM в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 3 в квадрате плюс 4 в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 9 плюс 16 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 25 конец аргумента =5 см.$

Заметим, что

$\angle NKA=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle MKB минус \angle MKN=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle MKB минус 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle MKB минус \angle MBK=\angle BMK,$ $\angle NKA=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle MKB минус \angle MKN=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle MKB минус 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =$
$=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle MKB минус \angle MBK=\angle BMK,$ $\angle NKA=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle MKB минус \angle MKN=$
$=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle MKB минус 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =$
$=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle MKB минус \angle MBK=\angle BMK,$

поэтому прямоугольные треугольники ANK и BKM подобны с коэффициентом $AK:BM=3:4$ и

$KN= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби KM= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби умножить на 5= дробь: числитель: 15, знаменатель: 4 конец дроби =3,75 см.$

Ответ: 1 — А, 2 — В, 3 — Б, 4 — Г.