СКЛАДУ ЗНО — математика

Вариант № 28

ЗНО 2018 року з математики — основна сесія

$дробь: числитель: 2a плюс 2, знаменатель: 2 конец дроби =$

А) a + 2

Б) 2a + 1

В) a + 1

Г) 2a

Д) a

Три прямі, розміщені в одній площині, перетинаються в одній точці (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $альфа .$

А) 80°

Б) 50°

В) 90°

Г) 100°

Д) 70°

У буфеті друзі купили кілька однакових тістечок вартістю 10 грн кожне і 5 однакових булочок вартістю x грн кожна. Яке з чисел може виражати загальну вартість цієї покупки (y грн), якщо x — ціле число?

А) 31

Б) 32

В) 33

Г) 34

Д) 35

На рисунку зображено графік функції $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ визначеної на проміжку [−4; 6]. Укажіть найбільше значення функції f на цьому проміжку.

А) −4

Б) 3

В) 4

Г) 5

Д) 6

Яке з наведених чисел є коренем рівняння $логарифм по основанию 4 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка =3?$

А) 4

Б) 13

В) 63

Г) 65

Д) 82

Укажіть формулу для обчислення об’єму V півкулі радіуса R (див. рисунок).

А) $V=4 Пи R в квадрате$

Б) $V= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби Пи R в квадрате$

В) $V= Пи R в кубе$

Г) $V=2 Пи R в квадрате$

Д) $V= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби Пи R в кубе$

Розв’яжітьрівняння $4 корень из: начало аргумента: x конец аргумента =1.$

А) $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$

Б) $дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби$

В) 16

Г) $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$

Д) $дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби$

Знайдiть область визначення функцiї $y= дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: x минус 2 конец дроби .$

А) $левая круглая скобка минус бесконечность ;2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка$

Б) $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка$

В) $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 2; плюс бесконечность правая круглая скобка$

Г) $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1;2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка$

Д) $левая круглая скобка минус бесконечность ; плюс бесконечность правая круглая скобка$

У просторі задано паралельні прямі тій. Які з наведених тверджень є правильними?

I. Існує площина, що містить обидві прямі m і n.

II. Існує пряма, що перетинає обидві прямі m і n.

III. Існує точка, що належить обом прямим m і n.

А) лише I

Б) лише II

В) лише II та III

Г) лише III

Д) лише I та II

10.  

Спростіть вираз $a левая круглая скобка a плюс 2b правая круглая скобка минус левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка в квадрате .$

А) $4ab плюс b в квадрате$

Б) $4ab минус b в квадрате$

В) $минус b в квадрате$

Г) $2ab минус b в квадрате$

Д) $b в квадрате$

11.  

На рисунку зображено паралельні прямі a і b та січну CD. Знайдіть відстань між прямими a і b, якщо CK = 5 см, KD = 2 см, а відстань від точки K до прямої a дорівнює 1 см.

А) 2,5 см

Б) 3 см

В) 3,5 см

Г) 4 см

Д) 4,5 см

12.  

Учень з понеділка до п’ятниці записував час (у хвилинах), який він витрачав на дорогу до школи та зі школи (див. таблицю).

Днi	понеділок	вівторок	середа	четвер	п’ятниця
Дорога до школи	19	20	21	17	23
Дорога зі школи	28	22	20	25	30

На скільки хвилин у середньому дорога зі школи триваліша за дорогу до школи?

А) 2

Б) 3

В) 4

Г) 5

Д) 6

13.  

$1 минус синус альфа \ctg альфа косинус альфа =$

А) $косинус 2 альфа$

Б) $1 минус синус 2 альфа$

В) 0

Г) $косинус в квадрате альфа$

Д) $синус в квадрате альфа$

14.  

Розв’яжіть систему рівнянь

$система выражений xy= минус 12,x левая круглая скобка 2y минус 1 правая круглая скобка = минус 18. конец системы .$

Якщо (x₀; y₀) — розв’язок системи, то x₀ = 

А) −6

Б) −16

В) −9

Г) 2

Д) 6

15.  

На рисунку зображено розгортку правильної трикутної призми. Визначте площу бічної поверхні цієї призми, якщо периметр розгортки (суцільна лінія) дорівнює 52 см, а периметр основи призми становить 12 см.

А) 36 см²

Б) 48 см²

В) 60 см²

Г) 72 см²

Д) 96 см²

16.  

Обчисліть значення виразу $логарифм по основанию 3 45 плюс логарифм по основанию 3 900 минус логарифм по основанию 3 500.$

А) $дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби$

Б) 4

В) 3

Г) 27

Д) $логарифм по основанию 3 445$

17.  

На рисунку зображено фрагмент графіка періодичної функції з періодом $T=2 Пи ,$ яка визначена на множині дійсних чисел. Укажіть серед наведених точку, що належить цьому графіку.

А) $левая круглая скобка 1;2 Пи правая круглая скобка$

Б) $левая круглая скобка 3 Пи ;0 правая круглая скобка$

В) $левая круглая скобка минус 1;5 Пи правая круглая скобка$

Г) $левая круглая скобка 5 Пи ;0 правая круглая скобка$

Д) $левая круглая скобка минус 5 Пи ; минус 1 правая круглая скобка$

18.  

Розв’яжіть нерівність $2 в степени x плюс 2 в степени левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка больше или равно 144.$

А) $левая квадратная скобка 34,5; плюс бесконечность правая круглая скобка$

Б) $левая квадратная скобка 4; плюс бесконечность правая круглая скобка$

В) $левая круглая скобка минус бесконечность ;4 правая квадратная скобка$

Г) $левая круглая скобка минус бесконечность ;4,5 правая квадратная скобка$

Д) $левая круглая скобка 4,5; плюс бесконечность правая квадратная скобка$

19.  

Укажіть похідну функції $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x левая круглая скобка x в кубе плюс 1 правая круглая скобка .$

А) $f' левая круглая скобка x правая круглая скобка =4x в кубе плюс 1$

Б) $f' левая круглая скобка x правая круглая скобка =4x в кубе$

В) $f' левая круглая скобка x правая круглая скобка =3x в квадрате$

Г) $f' левая круглая скобка x правая круглая скобка =3x в квадрате плюс 1$

Д) $f' левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: x в степени 5 , знаменатель: 5 конец дроби плюс дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби$

20.  

На рисунку зображено фрагмент поперечного перерiзу стiни (прямокутник KLMN) з арковим прорiзом ABFCD, верхня частина BFC якого є дугою кола радiуса 1 м. Вiдрiзки AB i DC перпендикулярнi до AD, AB = DC = 2 м. AD = 1,6 м, KL = 2,75 м. Визначте вiдстань d вiв найвищої точки F прорiзу до стелi LM.

А) 0,25 м

Б) 0,3 м

В) 0,4 м

Г) 0,35 м

Д) 0,45 м

25.  

Для визначення ширини автомагістралі h_маг, (у м) що має по 4 однакові смуги руху

транспорту в обох напрямках (див. рисунок), використовують формулу $h_маг=8b плюс r плюс 2\Delta,$ де

b — ширина однієї смуги руху транспорту;

r — ширина розділювальної смуги між напрямками руху транспорту;

$\Delta$  — ширина запобіжної смуги між крайньою смугою руху й бордюром.

1. Визначте ширину b (у м) однiєї смуги, якщо $h_маг=40,2м,$ r = 10 м, $\Delta=1,5м.$

2. Заплановано збільшити ширину b кожної смуги руху транспорту на 10% за рахунок лише зменшення ширини r розділювальної смуги. На скільки метрів потрібно зменшити ширину r розділювальної смуги?

26.  

У прямокутному трикутнику ABC $левая круглая скобка \angle C=90 градусов правая круглая скобка$ відстані від середини медіани BM до катетів АС і BC дорівнюють 5 см і 6 см відповідно.

1. Визначте довжину катета AC (у см).

Відповідь:

2. Визначтеї радіус (у см) кола, описаного навколо трикутника ABC.

Відповідь:

27.  

Знаменник геометричної прогресії дорівнює $дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ,$ а сума чотирьох перших її членів дорівнює 65. Знайдіть перший член цієї прогресії.

28.  

У майстерні мали виготовити 240 стільців за п днів, причому щодня планували виробляти однакову кількість стільців. Однак, на прохання замовника, завдання виконали на 2 дні раніше запланованого терміну. Для цього довелося денну норму виготовлення збільшити на 4 стільці. Визначте n.

29.  

В Оленки є 8 різних фотографій з її зображенням та 6 різних фотографій її класу. Скільки всього в неї є способів вибрати з них 3 фотографії зі своїм зображенням для персональної сторінки в соціальній мережі та 2 фотографії свого класу для сайту школи?

30.  

У прямокутній системі координат на площині задано колінеарні вектори $\vecAB$ та $\veca левая круглая скобка 3; минус 5 правая круглая скобка$ Визначте абсцису точки В, якщо А(−4; 1), а точка В лежить на прямій y = 3.

31.  

Задано функції $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в кубе$ i $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =4|x|.$

1. Побудуйте графік функції f.

2. Побудуйте графік функції g.

3. Визначте абсциси точок перетину графіків функцій f i g.

4. Обчисліть площу фігури, обмеженої графіками функцій f i g.

32.  

У правильній чотирикутній піраміді SABCD сторона основи ABCD дорівнює c, а бічне ребро SA утворює з площиною основи кут $альфа .$ Через основу висоти піраміди паралельно грані ASD проведено площину $бета .$

1. Побудуйте переріз піраміди SABCD площиною $бета .$

2. Обґрунтуйте вид перерізу.

3. Визначте периметр перерізу.

33.  

Розв'яжiть нерiвнiсть $дробь: числитель: логарифм по основанию a x, знаменатель: x в квадрате плюс левая круглая скобка a минус 4 правая круглая скобка x плюс 4 минус 2a конец дроби меньше или равно 0$ залежно вiд значень параметра a.

Решение. Раскладывая знаменатель на множители, получим

$x в квадрате плюс ax минус 4x плюс 4 минус 2a= левая круглая скобка x в квадрате минус 4x плюс 4 правая круглая скобка плюс a левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс a левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка = левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс a минус 2 правая круглая скобка .$ $x в квадрате плюс ax минус 4x плюс 4 минус 2a=$
$= левая круглая скобка x в квадрате минус 4x плюс 4 правая круглая скобка плюс a левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс a левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка = левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс a минус 2 правая круглая скобка .$ $x в квадрате плюс ax минус 4x плюс 4 минус 2a=$
$= левая круглая скобка x в квадрате минус 4x плюс 4 правая круглая скобка плюс a левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс a левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс a минус 2 правая круглая скобка .$

Сразу заметим, что $a больше 0,$ $a не равно 1$ — иначе числитель не определен ни при одном значении x. Кроме того, $x больше 0.$

Запишем неравенство в виде

$дробь: числитель: логарифм по основанию a x, знаменатель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс a минус 2 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0.$

Разберем два случая.

Если $a меньше 1,$ и, значит, $2 минус a больше 1,$ то числитель положителен при $x меньше 1$ и отрицателен при $x больше 1.$ Знаменатель же отрицателен при $2 минус a меньше x меньше 2$ и положителен при $x меньше 2 минус a$ и при $x больше 2.$ Нам нужно, чтобы числитель и знаменатель имели разные знаки. Это происходит при $1 меньше x меньше 2 минус a,$ числитель отрицателен, знаменатель положителен, и при $x больше 2,$ знаки те же. Кроме того, подходит $x=1,$ для него неравенство обращается в равенство.

Если $1 меньше x меньше 2,$ то $0 меньше 2 минус a меньше 1.$ Числитель положителен при $x больше 1$ и отрицателен при $x меньше 1.$ Теперь разные знаки будут при $0 меньше x меньше 2 минус a,$ числитель отрицателен, знаменатель положителен, и при $1 меньше x меньше 2,$ числитель положителен, знаменатель отрицателен. Кроме того, подходит $x=1,$ для него неравенство обращается в равенство.

Если же $a больше или равно 2,$ то $2 минус a меньше или равно 0$ и рассматривать $x меньше 2 минус a$ нет смысла. Числитель положителен при $x больше 1$ и отрицателен при $x меньше 1.$ Теперь разные знаки будут только при $1 меньше x меньше 2,$ числитель положителен, знаменатель отрицателен. Кроме того, подходит $x=1,$ для него неравенство обращается в равенство.

Ответ:

— якщо $a принадлежит левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка ,$ то $x принадлежит левая квадратная скобка 1;2 минус a правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка ;$

— якщо $a принадлежит левая круглая скобка 1;2 правая круглая скобка ,$ то $x принадлежит левая круглая скобка 0;2 минус a правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 1;2 правая круглая скобка ;$

— якщо $a принадлежит левая квадратная скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка ,$ то $x принадлежит левая квадратная скобка 1;2 правая круглая скобка .$

№ п/п	№ задания	Ответ
1	919	3
2	920	1
3	921	5
4	922	4
5	923	4
6	924	2
7	925	5
8	926	1
9	927	5
10	928	3
11	929	3
12	930	4
13	931	5
14	932	1
15	933	4
16	934	2
17	935	5
18	936	2
19	937	1
20	938	4
21	939	ВБАД
22	940	БАГД
23	941	АГБД
24	942	Д Б В Г
25	943	3,4 2,72
26	944	24 13
27	945	27
28	946	12
29	947	840
30	948	−5,2
31	949	3) x₁ = 0; x₂ = 2; 4) S = 4.
32	950	$P= дробь: числитель: 3 косинус альфа плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 косинус альфа конец дроби умножить на c.$
33	951	— якщо $a принадлежит левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка ,$ то $x принадлежит левая квадратная скобка 1;2 минус a правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка ;$ — якщо $a принадлежит левая круглая скобка 1;2 правая круглая скобка ,$ то $x принадлежит левая круглая скобка 0;2 минус a правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 1;2 правая круглая скобка ;$ — якщо $a принадлежит левая квадратная скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка ,$ то $x принадлежит левая квадратная скобка 1;2 правая круглая скобка .$

ЗНО 2018 року з математики — основна сесія

Ключ

ЗНО 2018 року з математики — основна сесія