Сто­ро­на ромба равна см. Кроме того, тре­уголь­ник ABD — рав­но­бед­рен­ный с углом 60°, зна­чит он рав­но­сто­рон­ний. Тогда см, а по­сколь­ку O — се­ре­ди­на BD, то см.

Рас­смот­рим тре­уголь­ник AOB. Он пря­мо­уголь­ный, по­сколь­ку диа­го­на­ли ромба пер­пен­ди­ку­ляр­ны, по­сколь­ку ра­ди­ус, про­ве­ден­ный в точку ка­са­ния, пер­пен­ди­ку­ля­рен ка­са­тель­ной. Зна­чит, это вы­со­та дан­но­го тре­уголь­ни­ка. Вы­чис­лим ее через пло­щадь:

По­это­му

Ответ: 6; 9.

Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр MH на сто­ро­ну AD. Тогда MHDC — пря­мо­уголь­ник, см. Зна­чит MHAK — пря­мо­уголь­ная тра­пе­ция и ее сред­няя линия (рас­сто­я­ние от се­ре­ди­ны KM до AD) равна

По­сколь­ку диа­го­на­ли ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в их общей се­ре­ди­не O, можно ис­кать рас­сто­я­ние OK как сред­нюю линию тре­уголь­ни­ка BAD. Она равна

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

За­ме­тим, что

по­это­му пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки ANK и BKM по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том и

Ответ: 1 — А, 2 — В, 3 — Б, 4 — Г.

Тре­уголь­ни­ки AKM и ABC по­доб­ны по двум углам: общий, как со­от­вет­ствен­ные углы при пе­ре­се­че­нии па­рал­лель­ных пря­мых се­ку­щей AB. Най­дем ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Про­ве­дем через точку K пря­мую, пер­пен­ди­ку­ляр­ную дан­ным. Пусть она пе­ре­сек­ла a в точке H, а пря­мую b в точке M, тогда тре­уголь­ни­ки KHD и KMC по­доб­ны по двум углам: как на­крест ле­жа­щие. Зна­чит,

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

За­ме­тим, что тре­уголь­ни­ки BOC и KOA по­доб­ны по двум углам: как вер­ти­каль­ные, как на­крест ле­жа­щие. Зна­чит,

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABP по­лу­ча­ем

Тре­уголь­ни­ки AKP и CKB по­доб­ны по двум углам: как вер­ти­каль­ные, как на­крест ле­жа­щие. Зна­чит,

Ответ: 6; 72.

1. Най­дем пе­ри­метр ABCM:

тогда Пря­мые AB и CM па­рал­лель­ны по усло­вию, пря­мые BC и AM па­рал­лель­ны по свой­ству тра­пе­ции. Таким об­ра­зом, ABCM — па­рал­ле­ло­грамм. Сле­до­ва­тель­но, 1 — Б.

2. Тре­уголь­ни­ки BOC и KOM по­доб­ны по двум углам. Углы и равны как вер­ти­каль­ные углы. Углы и равны как внут­рен­ние раз­но­сто­рон­ние. Тогда:

Итак, 2 — В.

3. Най­дем длину AD:

Вы­чис­лим длину сред­ней линии тра­пе­ции:

Таким об­ра­зом, 3 — Г.

Ответ: 1 — Б, 2 — В, 3 — Г.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка APL на­хо­дим

см

Ответ: 12; 21.

Пусть P  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков BE и AD (см. рис.). Тре­уголь­ник ABD  — рав­но­бед­рен­ный, так как его бис­сек­три­са BP яв­ля­ет­ся вы­со­той. По­это­му

По свой­ству бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка

Про­ведём через вер­ши­ну B пря­мую, па­рал­лель­ную AC. Пусть K  — точка пе­ре­се­че­ния этой пря­мой с про­дол­же­ни­ем ме­ди­а­ны AD. Тогда по­сколь­ку тре­уголь­ни­ки BDK и ADC равны по сто­ро­не и двум при­ле­жа­щим к ней углам.

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков APE и KPB сле­ду­ет, что По­это­му и Сле­до­ва­тель­но, имеем:

1. Сто­ро­на AB равна:

2. Сто­ро­на BC равна:

3. Най­дем сто­ро­ну AE:

Ответ: 1 —В, 2 — Г, 3 — Б.

Из ри­сун­ка де­ла­ем вывод, что MN — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABC, а, зна­чит, тре­уголь­ни­ки AMN и ABC по­доб­ны. Таким об­ра­зом,

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Из ри­сун­ка де­ла­ем вывод, что MN — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABC, а, зна­чит, тре­уголь­ни­ки AMN и ABC по­доб­ны. Таким об­ра­зом,

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 5.

Из ри­сун­ка де­ла­ем вывод, что MN — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABC, а, зна­чит, тре­уголь­ни­ки AMN и ABC по­доб­ны. Таким об­ра­зом,

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

Из ри­сун­ка де­ла­ем вывод, что MN — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABC, а, зна­чит, тре­уголь­ни­ки AMN и ABC по­доб­ны. Таким об­ра­зом,

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Из ри­сун­ка де­ла­ем вывод, что MN — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABC, а, зна­чит, тре­уголь­ни­ки AMN и ABC по­доб­ны. Таким об­ра­зом,

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

По свой­ствам тра­пе­ции, и Со­ста­вим и решим си­сте­му урав­не­ний:

Про­ве­дем вы­со­ту MH₁ в тра­пе­ции AMND и вы­со­ту BH₂ в тра­пе­ции ABCD. Тре­уголь­ни­ки AMH₁ и ABH₂ по­доб­ны по двум углам. Так как AM = MB, AB = 2AM, от­сю­да ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия тре­уголь­ни­ков равен 2. В таком слу­чае, длина вы­со­ты MH₁ равна по­ло­ви­не длины вы­со­ты BH₂, то есть 3 см.

Ответ:13; 3.