Имеем:

Най­дем зна­че­ния функ­ции в ука­зан­ных точ­ках. Имеем:

Решая урав­не­ние по­лу­чим

Ис­сле­дуя знак этого вы­ра­же­ния с по­мо­щью ме­то­да ин­тер­ва­лов, по­лу­чим при и при (функ­ция воз­рас­та­ет), при (функ­ция убы­ва­ет). При у функ­ции ми­ни­мум, при у функ­ции мак­си­мум,

За­ме­тим до­пол­ни­тель­но, что функ­ция не­чет­на,

Ответ:

1) якщо то то то

2)

3)

4) и

5) Проміжки зрос­тан­ня: проміжок спа­дан­ня: [−1; 1]; точки екс­тре­му­му: екс­тре­му­ми:

6) см. рис.

Функ­ция при дает при дает Если то от­ку­да От­ме­тим, что это и есть точка пе­ре­се­че­ния с го­ри­зон­таль­ной осью, то есть

Общий вид пер­во­об­раз­ной для это

Под­став­ляя в урав­не­ние ко­ор­ди­на­ты точки M, на­хо­дим от­ку­да Итак, или

Гра­фи­ком этой функ­ции будет па­ра­бо­ла вет­вя­ми вверх и с вер­ши­ной в точке

Ясно, что при­ни­ма­ет все не­от­ри­ца­тель­ные зна­че­ния и толь­ко их. Тогда тоже при­ни­ма­ет все не­от­ри­ца­тель­ные зна­че­ния и толь­ко их, а при­ни­ма­ет все зна­че­ния из про­ме­жут­ка и толь­ко их.

Ответ:

1) если то то то

2)

3)

4)

5) см. рис.;

6)

Най­дем зна­че­ния функ­ции в за­дан­ных точ­ках:

Решая урав­не­ние по­лу­чим

Гра­фик пред­став­лен на ри­сун­ке и пред­став­ля­ет собой стан­дарт­ный гра­фик сдви­ну­тый вниз на 2.

Точки пе­ре­се­че­ния с осями уже най­де­ны, это и

Най­дем пер­во­об­раз­ную функ­ции:

Как видно из ри­сун­ка, эта об­ласть лежит в чет­вер­той чет­вер­ти и огра­ни­че­на гра­фи­ком снизу, а осью свер­ху при Зна­чит, ее пло­щадь равна

Най­дем зна­че­ния функ­ции в ука­зан­ных точ­ках. Имеем:

Точки пе­ре­се­че­ния с осью OX дан­но­го гра­фи­ка  — это точки, абс­цис­сы ко­то­рых яв­ля­ют­ся кор­ня­ми урав­не­ния от­ку­да и

При­ведём дан­ную функ­цию к виду

Функ­ция яв­ля­ет­ся ку­би­че­ским мно­го­чле­ном, по­это­му всюду опре­де­ле­на и при­ни­ма­ет все ве­ще­ствен­ные зна­че­ния. Ее кор­ня­ми, оче­вид­но, будут и Асимп­тот гра­фик не имеет. Возь­мем про­из­вод­ную

что от­ри­ца­тель­но при и по­ло­жи­тель­но при или Зна­чит, функ­ция воз­рас­та­ет на убы­ва­ет на и воз­рас­та­ет на При у фук­ции мак­си­мум, а при у функ­ции ми­ни­мум, причём Возь­мем вто­рую про­из­вод­ную что по­ло­жи­тель­но при и от­ри­ца­тель­но при Зна­чит, функ­ция вы­пук­ла вниз при и вверх при При у функ­ции точка пе­ре­ги­ба, Гра­фик изоб­ра­жен на ри­сун­ке.

Най­дем точки пе­ре­се­че­ния гра­фи­ка ис­ход­ной функ­ции и пря­мой Для этого решим урав­не­ние:

от­ку­да Сле­до­ва­тель­но, пря­мая пе­ре­се­ка­ет гра­фик функ­ции при и (нас ин­те­ре­су­ет толь­ко тре­тья чет­верть, по­это­му мы не рас­смат­ри­ва­ем). По­сколь­ку функ­ция вы­пук­ла вверх при ее гра­фик лежит выше се­ку­щей. По­это­му