Обо­зна­чим ос­но­ва­ние вы­со­ты пи­ра­ми­ды за O. Про­ве­дем через O в плос­ко­сти ABCD пря­мую, па­рал­лель­ную AD, она будет па­рал­лель­на ASD и по­то­му будет ле­жать в се­че­нии. Обо­зна­чим точки пе­ре­се­че­ния этой пря­мой с AB и CD за M и N со­от­вет­ствен­но, это се­ре­ди­ны ребер пи­ра­ми­ды. Про­ве­дем через M в грани ABS пря­мую, па­рал­лель­ную AS, она будет па­рал­лель­на ASD и по­то­му будет ле­жать в се­че­нии. Обо­зна­чим ее точку пе­ре­се­че­ния с от­рез­ком BS за T. Оче­вид­но, MT — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABS, по­это­му T — се­ре­ди­на BS. Ана­ло­гич­но в се­че­нии будет ле­жать точка P — се­ре­ди­на CS. Тогда TPNM — ис­ко­мое се­че­ние, при­чем по­это­му се­че­ние — тра­пе­ция. Най­дем ее сто­ро­ны. За­ме­тим сразу, что а Про­ек­ци­ей SA на плос­кость ос­но­ва­ния яв­ля­ет­ся OA, тогда по усло­вию от­ку­да

В таком слу­чае,

Ответ:

Про­ве­дем об­ра­зу­ю­щие ци­лин­дра AA₁ и BB₁. Они па­рал­лель­ны оси ци­лин­дра, по­это­му будут ле­жать в плос­ко­сти β. В таком слу­чае AA₁B₁B — ис­ко­мое се­че­ние и оно имеет форму пря­мо­уголь­ни­ка, пря­мые AA₁ и BB₁ па­рал­лель­ны, по­это­му точки лежат в одной плос­ко­сти, от­рез­ки AA₁ и BB₁ равны, по­это­му они об­ра­зу­ют па­рал­ле­ло­грамм, пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния ци­лин­дра, по­это­му пря­мые AA₁ и BB₁ пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

Обо­зна­чим за M се­ре­ди­ну AB. Тогда OM пер­пен­ди­ку­ля­рен плос­ко­сти β. В самом деле, OAB — рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник, по­это­му в нем ме­ди­а­на сов­па­да­ет с вы­со­той, а OM и BB₁ пер­пен­ди­ку­ляр­ны, по­то­му что AA₁ пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния. Итак, OM пер­пен­ди­ку­ляр­но двум пе­ре­се­ка­ю­щим­ся пря­мым в плос­ко­сти β, по­это­му пер­пен­ди­ку­ляр­но и всей плос­ко­сти. Это и есть рас­сто­я­ние от OO₁ — оси ци­лин­дра — до плос­ко­сти се­че­ния. Обо­зна­чим вы­со­ту ци­лин­дра за h. Тогда

Ответ: 1) див. ри­су­нок; 3)

Плос­кость, па­рал­лель­ная ос­но­ва­нию ко­ну­са, от­се­ка­ет от него конус по­доб­ный дан­но­му. Точка делит вы­со­ту в от­но­ше­нии 1 : 2, по­это­му вы­со­ты от­се­чен­но­го и ис­ход­но­го ко­ну­сов от­но­сят­ся как 1 : 3.

Объёмы по­доб­ных тел от­но­сят­ся как куб ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия, по­это­му объем от­се­чен­но­го ко­ну­са в 27 раз мень­ше ис­ход­но­го. Сле­до­ва­тель­но, он равен 54 : 27 = 2. По­это­му объем остав­шей­ся части ко­ну­са, ко­то­рая при­мы­ка­ет к его ос­но­ва­нию, равен 54 − 2 = 52.

Ответ: 52.

Мень­ший конус по­до­бен боль­ше­му с ко­эф­фи­ци­ен­том 0,5. Объ­е­мы по­доб­ных тел от­но­сят­ся как куб ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия. По­это­му объем мень­ше­го ко­ну­са в во­семь раз мень­ше объ­е­ма боль­ше­го ко­ну­са.

Ответ: 2.

Мень­ший конус по­до­бен боль­ше­му с ко­эф­фи­ци­ен­том 0,5. Объ­е­мы по­доб­ных тел от­но­сят­ся как куб ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия. По­это­му объем мень­ше­го ко­ну­са в во­семь раз мень­ше объ­е­ма боль­ше­го ко­ну­са.

Ответ: 2.

Пло­щадь ос­но­ва­ния от­се­чен­ной части мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния всей приз­мы в 4 раза (так как и вы­со­та и ос­но­ва­ние тре­уголь­ни­ка умень­ши­лись в 2 раза). Вы­со­ты обеих ча­стей приз­мы оди­на­ко­вы, по­это­му объем от­се­чен­ной части в 4 раза мень­ше объ­е­ма целой приз­мы. Тем самым, он равен 20.

Ответ: 20.

Ис­ход­ный и от­се­чен­ный конус по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия 2. Пло­ща­ди по­верх­но­стей по­доб­ных тел от­но­сят­ся как квад­рат ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия. По­это­му пло­щадь от­се­чен­но­го ко­ну­са в 4 раза мень­ше пло­ща­ди по­верх­но­сти ис­ход­но­го. Тем самым, она равна 3.

Ответ: 3.

Пло­щадь ос­но­ва­ния от­се­чен­ной части мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния всей приз­мы в 4 раза (так как и вы­со­та и ос­но­ва­ние тре­уголь­ни­ка умень­ши­лись в 2 раза). Вы­со­ты обеих ча­стей оди­на­ко­вы, по­это­му объем от­се­чен­ной части в 4 раза мень­ше объ­е­ма целой приз­мы, ко­то­рый равен 28.

Ответ: 28.

Ис­ход­ный и от­се­чен­ный конус по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия 2. Пло­ща­ди по­верх­но­стей по­доб­ных тел от­но­сят­ся как квад­рат ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия. По­это­му пло­щадь от­се­чен­но­го ко­ну­са в 4 раза мень­ше пло­ща­ди по­верх­но­сти ис­ход­но­го. Тем самым, она равна 27.

Ответ: 27.

Се­че­ние плос­ко­стью, па­рал­лель­ной ос­но­ва­нию, пред­став­ля­ет собой круг, ра­ди­ус ко­то­ро­го от­но­сит­ся к ра­ди­у­су ос­но­ва­ния ко­ну­са как 3 : 9. Пло­ща­ди по­доб­ных фигур от­но­сят­ся как квад­рат ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия, по­это­му пло­щадь се­че­ния в 9 раз мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния. Тем самым, она равна 2.

Ответ: 2.

Се­че­ние плос­ко­стью, па­рал­лель­ной ос­но­ва­нию, пред­став­ля­ет собой круг, ра­ди­ус ко­то­ро­го от­но­сит­ся к ра­ди­у­су ос­но­ва­ния ко­ну­са как 3 : 9. Пло­ща­ди по­доб­ных фигур от­но­сят­ся как квад­рат ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия, по­это­му пло­щадь се­че­ния в 9 раз мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния. Тем самым, она равна 1.

Ответ: 1.

Каж­дая из сто­рон се­че­ния яв­ля­ет­ся сред­ней ли­ни­ей бо­ко­вой грани. По­это­му сто­ро­ны се­че­ния об­ра­зу­ют квад­рат со сто­ро­ной 0,5, пло­щадь ко­то­ро­го равна 0,25.

Ответ: 0,25.

Бо­ко­вые грани ис­ход­ной приз­мы вдвое боль­ше со­от­вет­ству­ю­щих бо­ко­вых гра­ней от­се­чен­ной приз­мы, по­это­му пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ис­ход­ной приз­мы равна 74.

Ответ: 74.

Ис­ход­ный и от­се­чен­ный конус по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия 3. Пло­ща­ди по­верх­но­стей по­доб­ных тел от­но­сят­ся как квад­рат ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия. По­это­му пло­щадь ос­но­ва­ния отсечённого ко­ну­са в 9 раз мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния ис­ход­но­го. Тем самым, она равна 5.

Ответ: 5.

Ис­ход­ный и от­се­чен­ный конус по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия 4. Пло­ща­ди по­верх­но­стей по­доб­ных тел от­но­сят­ся как квад­рат ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия. По­это­му пло­щадь ос­но­ва­ния отсечённого ко­ну­са в 16 раз мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния ис­ход­но­го. Тем самым, она равна 3.

Ответ: 3.

Пло­щадь ос­но­ва­ния от­се­чен­ной части мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния всей приз­мы в 4 раза (так как и вы­со­та и ос­но­ва­ние тре­уголь­ни­ка умень­ши­лись в 2 раза). Вы­со­ты обеих ча­стей приз­мы оди­на­ко­вы, по­это­му объем от­се­чен­ной части в 4 раза мень­ше объ­е­ма целой приз­мы. Тем самым, он равен 28.

Ответ: 28.

Пло­щадь каж­дой из бо­ко­вых гра­ней отсечённой тре­уголь­ной приз­мы вдвое мень­ше пло­ща­ди со­от­вет­ству­ю­щей бо­ко­вой грани ис­ход­ной приз­мы, зна­чит, пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти от­се­чен­ной тре­уголь­ной приз­мы равна 18.

Ответ: 18.