При пер­вое урав­не­ние при­ни­ма­ет вид

Тогда вто­рое урав­не­ние дает Итак, Те­перь решим си­сте­му при про­чих зна­че­ни­ях a. Вто­рое урав­не­ние можно пе­ре­пи­сать в виде Сразу от­ме­тим, что при­ни­ма­ет все зна­че­ния из про­ме­жут­ка по­это­му также и Кроме того

Ответ: при от­ве­ты При от­ве­ты (слу­чай разо­бран в пер­вом пунк­те). При от­ве­ты

При пер­вое урав­не­ние при­ни­ма­ет вид

Те­перь решим си­сте­му при про­чих зна­че­ни­ях a. Вто­рое урав­не­ние можно пе­ре­пи­сать в виде

Ответ:

1) (−3; 0,25);

2) якщо то розв'язком си­сте­ми є (−3; 0,25); якщо то розв'яз­ка­ми си­сте­ми є (−3; 0,25) та

Нужно, чтобы ло­га­рифм был опре­де­лен, то есть чтобы и еще чтобы зна­ме­на­тель не был равен нулю, то есть

Итак, до­пу­сти­мые зна­че­ния x это Те­перь решим урав­не­ние. Чис­ли­тель дроби дол­жен быть равен нулю, от­ку­да либо то есть (не вхо­дит в об­ласть опре­де­ле­ния урав­не­ния), либо

Раз­бе­рем сразу слу­чай, когда то есть Тогда и го­дит­ся в урав­не­ние. Ко­рень под­хо­дит, если

Ко­рень под­хо­дит, если

Ответ:

1)

2)

— якщо то

— якщо то

— якщо то

— якщо то рівнян­ня коренів не має.

Урав­не­ние можно пре­об­ра­зо­вать:

Ясно, что это верно толь­ко при Решим те­перь из­на­чаль­ное урав­не­ние. По пунк­ту 1 по­нят­но, что яв­ля­ет­ся его ре­ше­ни­ем при любом a. Если же об­ну­ля­ет­ся пер­вый мно­жи­тель, то

Ответ: при кор­нем будет толь­ко при кор­ня­ми будут и

Решим урав­не­ние:

Ис­ход­ное урав­не­ние рав­но­силь­но урав­не­нию

Рас­смот­рим два слу­чая.

Пер­вый слу­чай: По­лу­ча­ем при

Вто­рой слу­чай: при усло­вии По­лу­ча­ем Усло­вие при­ни­ма­ет вид:

Ко­рень урав­не­ния при­над­ле­жит от­рез­ку при

Ко­рень урав­не­ния при­над­ле­жит от­рез­ку при

Корни урав­не­ния и сов­па­да­ют при

Таким об­ра­зом, ис­ход­ное урав­не­ние имеет ровно один ко­рень на от­рез­ке при и

Ответ:

1)

2)

При a  =  0 урав­не­ние при­ни­ма­ет вид и имеет един­ствен­ное ре­ше­ние  — 0. При a < 0 урав­не­ние не имеет ре­ше­ний, так как оно имеет смысл при и при всех таких x вы­пол­не­ны не­ра­вен­ства

При a > 0 урав­не­ние имеет смысл при и рав­но­силь­но на этом про­ме­жут­ке урав­не­ни­ям и При это урав­не­ние не имеет ре­ше­ний на про­ме­жут­ке так как для всех x из этого про­ме­жут­ка вы­пол­не­ны не­ра­вен­ства При это урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние при­над­ле­жа­щее про­ме­жут­ку так как

От­сю­да по­лу­ча­ем, что ис­ход­ное урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние при a  =  0 или a > 2.

Ответ:

1)  

2)  

Воз­во­дим пер­вое урав­не­ние в квад­рат, на­хо­дим, что y  =  2x, под­ста­вим най­ден­ное зна­че­ние во вто­рое урав­не­ние, по­лу­чим

Вер­нем­ся ко вто­ро­му пунк­ту. По­сколь­ку урав­не­ние y  =  2x уста­нав­ли­ва­ет вза­им­но од­но­знач­ное со­от­вет­ствие между пе­ре­мен­ны­ми, ко­ли­че­ство ре­ше­ний си­сте­мы равно ко­ли­че­ству кор­ней урав­не­ния (⁎).

Пусть За­ме­тим, что

Усло­вие за­да­чи будет вы­пол­не­но, если будет вы­пол­не­но одно из усло­вий:

— вто­рое урав­не­ние со­во­куп­но­сти не имеет ре­ше­ний;

— корни обоих урав­не­ний со­во­куп­но­сти равны;

— ко­рень вто­ро­го урав­не­ния со­во­куп­но­сти не боль­ше −8.

При урав­не­ние не имеет ре­ше­ний. Если то

Корни урав­не­ний со­во­куп­но­сти сов­па­да­ют, если

Ко­рень вто­ро­го урав­не­ния со­во­куп­но­сти не боль­ше −8, если

Объ­еди­няя все слу­чаи, по­лу­ча­ем, что ис­ход­ная си­сте­ма урав­не­ний имеет не более трех ре­ше­ний при или при

Ответ:

1)  

2)