СКЛАДУ ЗНО, математика: завдання, відповіді, рішення

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 34 № 1258 Добавить в вариант

Задано систему рівнянь

$система выражений ax в квадрате плюс ax плюс 3 в степени левая круглая скобка 2 плюс y в квадрате правая круглая скобка =27,x плюс 3 в степени левая круглая скобка 1 плюс y в квадрате правая круглая скобка =8, конец системы .$

де х, у — змінні, a — стала.

1. Розв’яжіть цю систему, якщо $a=0.$

2. Визначте всі розв’язки заданої системи залежно від значень а.

Спрятать решение

Решение.

При $a=0$ первое уравнение принимает вид

$3 в степени левая круглая скобка 2 плюс y в квадрате правая круглая скобка =27 равносильно 3 в степени левая круглая скобка 2 плюс y в квадрате правая круглая скобка =3 в кубе равносильно 2 плюс y в квадрате =3 равносильно y в квадрате =1 равносильно y=\pm 1.$

Тогда второе уравнение дает $x плюс 3 в степени левая круглая скобка 1 плюс 1 правая круглая скобка =8 равносильно x плюс 9=8 равносильно x= минус 1.$ Итак, $x= минус 1;$ $y=\pm 1.$ Теперь решим систему при прочих значениях a. Второе уравнение можно переписать в виде $3 в степени левая круглая скобка 1 плюс y в квадрате правая круглая скобка =8 минус x.$ Сразу отметим, что $1 плюс y в квадрате$ принимает все значения из промежутка $левая квадратная скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка ,$ поэтому $3 меньше или равно 3 в степени левая круглая скобка 1 плюс y в квадрате правая круглая скобка ,$ также $3 меньше или равно 8 минус x$ и $x меньше или равно 5.$ Кроме того

$3 в степени левая круглая скобка 2 плюс y в квадрате правая круглая скобка =3 в степени левая круглая скобка 1 плюс 1 плюс y в квадрате правая круглая скобка =3 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 1 плюс y в квадрате правая круглая скобка =3 левая круглая скобка 8 минус x правая круглая скобка .$

Используем это равенство в первом уравнении. Получим

$ax в квадрате плюс ax плюс 3 левая круглая скобка 8 минус x правая круглая скобка =27 равносильно ax в квадрате плюс ax плюс 24 минус 3x минус 27=0 равносильно$
$равносильно ax левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 3 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно левая круглая скобка ax минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =0,$ $ax в квадрате плюс ax плюс 3 левая круглая скобка 8 минус x правая круглая скобка =27 равносильно$
$равносильно ax в квадрате плюс ax плюс 24 минус 3x минус 27=0 равносильно$
$равносильно ax левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 3 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно левая круглая скобка ax минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =0,$

откуда $x= дробь: числитель: 3, знаменатель: a конец дроби$ или $x= минус 1.$ Если $x= минус 1,$ то $3 в степени левая круглая скобка 1 плюс y в квадрате правая круглая скобка =8 минус левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =9=3 в квадрате равносильно y в квадрате плюс 1=2 равносильно y в квадрате =1 равносильно y=\pm 1.$ Если $x= дробь: числитель: 3, знаменатель: a конец дроби ,$ причем $дробь: числитель: 3, знаменатель: a конец дроби меньше или равно 5,$ то либо $a меньше 0,$ либо $a больше 0$ и $3 меньше или равно 5a,$ то есть $a больше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби .$ При таких a получаем

$3 в степени левая круглая скобка 1 плюс y в квадрате правая круглая скобка =8 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: a конец дроби равносильно 1 плюс y в квадрате = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 8 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: a конец дроби правая круглая скобка ,$ $y в квадрате = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 8 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: a конец дроби правая круглая скобка минус 1= логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 8 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: a конец дроби правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 3= логарифм по основанию 3 левая круглая скобка дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби правая круглая скобка$

$y=\pm корень из: начало аргумента: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби правая круглая скобка конец аргумента .$

Это выражение определено, поскольку это гарантировано условием $8 минус x больше или равно 3,$ о котором мы позаботились. Есть два отдельных случая. Если $a= дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби ,$ то $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби правая круглая скобка =0$ и $y=\pm корень из: начало аргумента: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби правая круглая скобка конец аргумента =\pm корень из: начало аргумента: 0 конец аргумента =0$ — то есть получается одно решение, а не два. Если $дробь: числитель: 3, знаменатель: a конец дроби = минус 1,$ то есть $a= минус 3,$ эти решения совпадают с уже найденными для $x= минус 1.$

Ответ: при $a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 3; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби ; бесконечность правая круглая скобка$ ответы $левая круглая скобка минус 1; 1 правая круглая скобка , левая круглая скобка минус 1; минус 1 правая круглая скобка , левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: a конец дроби ; корень из: начало аргумента: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби правая круглая скобка конец аргумента правая круглая скобка , левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: a конец дроби ; минус корень из: начало аргумента: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби правая круглая скобка конец аргумента правая круглая скобка .$ При $a принадлежит левая фигурная скобка минус 3 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка$ ответы $левая круглая скобка минус 1; 1 правая круглая скобка , левая круглая скобка минус 1; минус 1 правая круглая скобка$ (случай $a=0$ разобран в первом пункте). При $a= дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби$ ответы $левая круглая скобка минус 1; 1 правая круглая скобка , левая круглая скобка минус 1; минус 1 правая круглая скобка , левая круглая скобка 5; 0 правая круглая скобка .$

Источник: ЗНО 2021 року з математики — додаткова сесія

Классификатор алгебры: 8\.11\. Прочие задачи с параметром

Методы алгебры: Перебор случаев

Спрятать решение