СКЛАДУ ЗНО, математика: завдання, відповіді, рішення

Каталог заданий.
Різні завдання з векторами та координатами

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д13 B3 № 642 Добавить в вариант

Источник: ЗНО 2015 року з математики — основна сесія

Классификатор стереометрии: Задачи, где в условии векторы или координаты

Вектори та координати. Різні завдання з векторами та координатами

У прямокутній декартовій системі координат у просторі хуz задано точки А (2; 0; 0) і В (−4; 2; 6). До кожного початку речення (1−4) доберіть його закінчення (А−Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1.    Серединою відрізка AB є точка

2.    Вектор $\overrightarrowAB$ має координати

3.    Проекцією точки В на площину хz є точка

4.    Проекцією точки В на вісь у є точка

Закінчення речення

А    (−1; 1; 3)

Б    (0; 2; 0)

В    (−4; 0; 6)

Г    (−6; 2; 6)

Д    (−2; 2; 6)

Решение.

Чтобы найти координаты середины отрезка, нужно сложить координаты его концов и поделить на 2. Получим

$левая круглая скобка дробь: числитель: минус 4 плюс 2, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 2 плюс 0, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 6 плюс 0, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = левая круглая скобка минус 1; 1; 3 правая круглая скобка .$

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть координаты начала. Получим

$левая круглая скобка минус 4 минус 2; 2 минус 0; 6 минус 0 правая круглая скобка = левая круглая скобка минус 6; 2; 6 правая круглая скобка$

При проецировании точки на плоскость xz ее y — координата обнуляется, а остальные остаются неизменными. Получаем точку (–4; 0; 6).

При проецировании точки на ось y ее координата y сохраняется, а остальные обнуляются. Получаем точку (0; 2; 0).

Ответ: 1 — А, 2 — Г, 3 — В, 4 — Б.

Ответ: А&Г&В&Б

Источник: ЗНО 2015 року з математики — основна сесія

РешениеСпрятать решение

Тип Д13 B3 № 670 Добавить в вариант

Источник: ЗНО 2015 року з математики — додаткова сесія

Классификатор стереометрии: Задачи, где в условии векторы или координаты

Вектори та координати. Різні завдання з векторами та координатами

У прямокутній декартовій системі координат xyz у просторі задано точки: O (0; 0; 0) — початок координат, С (−2; 6; 0). До кожного початку речення (1−4) доберіть його закінчення (А−Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1.    Точка (4; 0; 0)

2.    Точка (0; −3; 5)

3.    Точка (−1; 3; 0)

4.    Точка (2; −6; 0)

Закінчення речення

А    є симетричною точці С відносно координатної площини xz

Б    лежить у координатній площині yz

В    є серединою відрізка OC

Г    є симетричною точці С відносно початку координат

Д    лежить на координатній осі x

Решение.

Точки симметричны относительно плоскости xz если они отличаются только знаком y — координаты, поэтому точке C симметрична $левая круглая скобка минус 2; минус 6; 0 правая круглая скобка .$ Такой точки в списке нет.

В координатной плоскости yz расположены точки, у которых x — координата равна 0. Из приведенных точек это только точка $левая круглая скобка 0; минус 3; 5 правая круглая скобка$

Чтобы найти координаты середины отрезка, нужно сложить координаты его концов и поделить на 2. Получим $левая круглая скобка дробь: числитель: минус 2 плюс 0, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 6 плюс 0, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 0 плюс 0, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = левая круглая скобка минус 1; 3; 0 правая круглая скобка .$

Точки симметричны относительно начала координат, если все их координаты отличаются только знаком. Значит симметричная точке C имеет координаты $левая круглая скобка 2; минус 6;0 правая круглая скобка$

Точка лежит на оси OX, если ее координаты по y и z равны нулю. Из приведенных точек это только точка $левая круглая скобка 4; 0; 0 правая круглая скобка$

Ответ: 1 — Д, 2 — Б, 3 — В, 4 — Г.

Ответ: Д&Б&В&Г

Источник: ЗНО 2015 року з математики — додаткова сесія

РешениеСпрятать решение

Тип Д13 B3 № 743 Добавить в вариант

Источник: ЗНО 2016 року з математики — основна сесія

Методы геометрии: Теорема косинусов

Классификатор планиметрии: Задачи, где в условии векторы или координаты

Вектори та координати. Різні завдання з векторами та координатами

У прямокутній системі координат на площині задано паралелограм АВСD, $косинус A=0,4.$ Визначте довжину діагоналі BD паралелограма, якщо скалярний добуток векторів $\overrightarrowAB$ (6; −8) і $\overrightarrowAD$ дорівнює 96.

Решение.

По условию

$96=\overlineAB умножить на \overlineAD=\abs\overlineAB умножить на \abs\overlineAD умножить на косинус \angle A= корень из: начало аргумента: 6 в квадрате плюс левая круглая скобка минус 8 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента умножить на \abs\overlineAD умножить на 0,4=$
$= корень из: начало аргумента: 36 плюс 64 конец аргумента умножить на 0,4 умножить на \abs\overlineAD=10 умножить на 0,4 умножить на \abs\overlineAD=4\abs\overlineAD,$ $96=\overlineAB умножить на \overlineAD=\abs\overlineAB умножить на \abs\overlineAD умножить на косинус \angle A=$
$= корень из: начало аргумента: 6 в квадрате плюс левая круглая скобка минус 8 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента умножить на \abs\overlineAD умножить на 0,4=$
$= корень из: начало аргумента: 36 плюс 64 конец аргумента умножить на 0,4 умножить на \abs\overlineAD=10 умножить на 0,4 умножить на \abs\overlineAD=4\abs\overlineAD,$

откуда $\abs\overlineAD=24.$ По теореме косинусов для треугольника ABD получаем

$BD= корень из: начало аргумента: AB в квадрате плюс AD в квадрате минус 2AB умножить на AD косинус \angle A конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 24 в квадрате плюс 10 в квадрате минус 2 умножить на 24 умножить на 10 умножить на 0,4 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 576 плюс 100 минус 192 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 484 конец аргумента =22.$ $BD= корень из: начало аргумента: AB в квадрате плюс AD в квадрате минус 2AB умножить на AD косинус \angle A конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 24 в квадрате плюс 10 в квадрате минус 2 умножить на 24 умножить на 10 умножить на 0,4 конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 576 плюс 100 минус 192 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 484 конец аргумента =22.$

Ответ: 22.

Ответ: 22

Источник: ЗНО 2016 року з математики — основна сесія

РешениеСпрятать решение

Тип Д13 B3 № 778 Добавить в вариант

Источник: ЗНО 2016 року з математики — додаткова сесія

Классификатор планиметрии: Задачи, где в условии векторы или координаты

Вектори та координати. Різні завдання з векторами та координатами

У прямокутній системі координат на площині задано трапецію ABCD, основа якої AD вдвічі більша за основу BC. Обчисліть скалярний добуток векторів $\vecBD$ та $\vecAC,$ якщо $\vecAB левая круглая скобка 2;9 правая круглая скобка$ i $\vecBC левая круглая скобка минус 4;3 правая круглая скобка .$

Решение.

По условию

$\overlineAD=2\overlineBC=2 умножить на левая круглая скобка минус 4; 3 правая круглая скобка = левая круглая скобка минус 8; 6 правая круглая скобка .$

Далее,

$\overlineBD=\overlineAD минус \overlineAB= левая круглая скобка минус 8; 6 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2; 9 правая круглая скобка = левая круглая скобка минус 10; минус 3 правая круглая скобка$

$\overlineAC=\overlineAB плюс \overlineBC= левая круглая скобка 2;9 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка минус 4;3 правая круглая скобка = левая круглая скобка минус 2;12 правая круглая скобка .$

Значит,

$\overlineBD умножить на \overlineAC= левая круглая скобка минус 10; минус 3 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка минус 2; 12 правая круглая скобка = левая круглая скобка минус 10 правая круглая скобка левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка умножить на 12=20 минус 36= минус 16.$ $\overlineBD умножить на \overlineAC= левая круглая скобка минус 10; минус 3 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка минус 2; 12 правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка минус 10 правая круглая скобка левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка умножить на 12=20 минус 36= минус 16.$

Ответ: −16.

Ответ: -16

Источник: ЗНО 2016 року з математики — додаткова сесія

РешениеСпрятать решение

Тип Д13 B3 № 846 Добавить в вариант

Источник: ЗНО 2017 року з математики — основна сесія

Классификатор планиметрии: Задачи, где в условии векторы или координаты

Вектори та координати. Різні завдання з векторами та координатами

У прямокутній системі координат на площині задано взаємно перпендикулярні вектори $\overrightarrowA B$ та $\veca левая круглая скобка 4; 3 правая круглая скобка .$ Визначте абецису точки B, якщо A (−2; 0), а точка B лежить на прямій $y=2 x.$

Решение.

Обозначим абсциссу точки B за b, тогда ее ордината равна 2b потому что она лежит на прямой $y=2x.$ Координаты вектора $\overlineAB$ в таком случае равны $левая круглая скобка b плюс 2; 2b правая круглая скобка .$ По условию этот вектор перпендикулярен вектору $левая круглая скобка 4; 3 правая круглая скобка ,$ значит, их скалярное произведение равно нулю. Получаем:

$левая круглая скобка b плюс 2 правая круглая скобка умножить на 4 плюс 2b умножить на 3=0 равносильно 4b плюс 8 плюс 6b=0 равносильно 10b= минус 8 равносильно b= минус 0,8.$

Ответ: −0,8.

Ответ: -0,8

Источник: ЗНО 2017 року з математики — основна сесія

РешениеСпрятать решение

Пройти тестирование по этим заданиям

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе