Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной пи­ра­ми­ды равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния пе­ри­мет­ра ос­но­ва­ния на апо­фе­му. Апо­фе­му най­дем по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра как катет пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, ги­по­те­ну­за ко­то­ро­го — бо­ко­вое ребро, а дру­гой катет — по­ло­ви­на сто­ро­ны ос­но­ва­ния: Тогда для пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти имеем:

Ответ: 360.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной пи­ра­ми­ды равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния пе­ри­мет­ра ос­но­ва­ния на апо­фе­му. Апо­фе­му най­дем по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра как катет пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, ги­по­те­ну­за ко­то­ро­го — бо­ко­вое ребро, а дру­гой катет — по­ло­ви­на сто­ро­ны ос­но­ва­ния: Тогда пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти

Ответ: 360.

Дан­ные пи­ра­ми­ды имеют общую вы­со­ту, по­это­му их объ­е­мы со­от­но­сят­ся как пло­ща­ди их ос­но­ва­ний. Пло­щадь пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка со сто­ро­ной a равна Пло­щадь же рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ACB с бо­ко­вой сто­ро­ной a и углах при ос­но­ва­нии 30° равна По­лу­ча­ем, что пло­щадь ше­сти­уголь­ни­ка боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ACB в  раз и равна 6.

Ответ: 6.

1. В пра­виль­ном ше­сти­уголь­ни­ке сто­ро­на равна ра­ди­у­су опи­сан­ной окруж­но­сти, по­это­му най­дем вы­со­ту пи­ра­ми­ды по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

2. Пло­щадь ос­но­ва­ния

3. Про­ве­дем вы­со­ту SH. Так как SBC рав­но­бед­рен­ный, то SH яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной, сле­до­ва­тель­но По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка SBC равна:

Ответ: 1 — Г, 2 — Д, 3 — Б.

Пло­щадь ос­но­ва­ния равна

Из фор­му­лы для объ­е­ма пи­ра­ми­ды най­дем вы­со­ту:

В пра­виль­ном ше­сти­уголь­ни­ке сто­ро­на равна ра­ди­у­су опи­сан­ной окруж­но­сти, по­это­му най­дем бо­ко­вое ребро пи­ра­ми­ды по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Ответ: 7.

Вер­ши­на пра­виль­ной пи­ра­ми­ды про­ек­ти­ру­ет­ся в центр ее ос­но­ва­ния. В пра­виль­ном ше­сти­уголь­ни­ке со сто­ро­ной a рас­сто­я­ние от его цен­тра до сто­ро­ны равно ра­ди­у­су впи­сан­ной окруж­но­сти, ко­то­рый равен Так как угол между бо­ко­вой гра­нью и ос­но­ва­ни­ем равен 45°, вы­со­та пи­ра­ми­ды также равна Тогда имеем:

Ответ: 48.

Дан­ные пи­ра­ми­ды имеют общую вы­со­ту, по­это­му их объ­е­мы со­от­но­сят­ся как пло­ща­ди их ос­но­ва­ний. Пло­щадь пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка со сто­ро­ной a равна Пло­щадь рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ACB с бо­ко­вой сто­ро­ной a и углах при ос­но­ва­нии 30° равна По­лу­ча­ем, что пло­щадь ше­сти­уголь­ни­ка боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка в   раз тем самым, она равна 6 · 48 = 288.

Ответ: 288.

В пра­виль­ном ше­сти­уголь­ни­ке сто­ро­на равна ра­ди­у­су опи­сан­ной окруж­но­сти, по­это­му най­дем вы­со­ту пи­ра­ми­ды по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: Пло­щадь ос­но­ва­ния

Ответ: 768.

Длина боль­шей диа­го­на­ли пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка равна его удво­ен­ной сто­ро­не. По­это­му

Ответ: 2.

Дан­ные пи­ра­ми­ды имеют общую вы­со­ту, по­это­му их объ­е­мы со­от­но­сят­ся как пло­ща­ди их ос­но­ва­ний. Пло­щадь пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка со сто­ро­ной a равна Пло­щадь рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC с бо­ко­вой сто­ро­ной a и углах при ос­но­ва­нии равна По­лу­ча­ем, что пло­щадь ше­сти­уголь­ни­ка боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC в раз. Зна­чит, ис­ко­мый объём равен

Ответ: 198.

Дан­ные пи­ра­ми­ды имеют общую вы­со­ту, по­это­му их объ­е­мы со­от­но­сят­ся как пло­ща­ди их ос­но­ва­ний. Пло­щадь пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка со сто­ро­ной a равна Пло­щадь рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка BCD с бо­ко­вой сто­ро­ной a и углах при ос­но­ва­нии равна По­лу­ча­ем, что пло­щадь ше­сти­уголь­ни­ка боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка BCD в раз. A зна­чит, По­лу­ча­ет­ся, что

Ответ: 102.

По­стро­им вы­со­ту SH. Ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды со­став­ля­ют шесть рав­ных пра­виль­ных тре­уголь­ни­ка, зна­чит, AB = AH.

С по­мо­щью тео­ре­мы Пи­фа­го­ра най­дем SH:

Ответ: 15.