СКЛАДУ ЗНО, математика: завдання, відповіді, рішення

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 22 № 978 Добавить в вариант

У прямокутник ABCD вписано два кола із центрами в точках O₁ та O₂, кожне з яких дотикається до трьох сторін прямокутника й одне до одного (див. рисунок). Сума довжин уписаних кіл дорівнює 16π.

1. Визначте довжину відрізка O₁O₂.

Відповідь:

2. Обчисліть площу чотирикутника BO₁O₂C.

Відповідь:

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что круги имеют одинаковые диаметры (расстояние между параллельными сторонами прямоугольника), а значит и одинаковые радиусы. Обозначим радиусы за r см, тогда длина двух окружностей равна $2 Пи r умножить на 2=4 Пи r.$ По условию $4 Пи r=16 Пи ,$ откуда $r=4$ см и $O_1O_2=2r=8$ см (расстояние между центрами касающихся окружностей равно сумме их радиусов).

Отметим, что $BC=4r=16$ см. Тогда площадь трапеции BCO₂O₁ можно найти по формуле

$S= дробь: числитель: BC плюс O_1O_2, знаменатель: 2 конец дроби умножить на d левая круглая скобка O_2, BC правая круглая скобка = дробь: числитель: 16 плюс 8, знаменатель: 2 конец дроби умножить на r=12 умножить на 4=48 см в квадрате .$

Ответ: 8; 48.

Источник: ЗНО 2018 року з математики — додаткова сесія

Методы геометрии: Свойства касательных, хорд, секущих

Классификатор планиметрии: 2\.3\. Прямоугольник, ромб, квадрат, 3\.3\. Вписанная окружность

Спрятать решение