Решим си­сте­му при

Решим вто­рое урав­не­ние си­сте­мы.

При при под­ста­нов­ке в пер­вое урав­не­ние си­сте­мы по­лу­ча­ют­ся квад­рат­ные урав­не­ния. Зна­чит, ис­ход­ная си­сте­ма урав­не­ний имеет ровно 4 раз­лич­ных ре­ше­ния тогда и толь­ко тогда, когда каж­дое из этих урав­не­ний имеет ровно два корня и пара чисел (1;1) не яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем ис­ход­ной си­сте­мы.

При x  =  1 по­лу­ча­ем:

Это квад­рат­ное урав­не­ние имеет ровно два корня при по­ло­жи­тель­ном дис­кри­ми­нан­те:

При по­лу­ча­ем:

Это квад­рат­ное урав­не­ние имеет два корня при по­ло­жи­тель­ном дис­кри­ми­нан­те:

Пара чисел (1;1) яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем ис­ход­ной си­сте­мы при то есть a  =  −3.

Таким об­ра­зом, ис­ход­ная си­сте­ма урав­не­ний имеет ровно 4 ре­ше­ния при

Ответ:

1)

2)

Решим си­сте­му урав­не­ние при

Пре­об­ра­зу­ем си­сте­му

За­ме­тим, что если яв­ля­ет­ся кор­нем пер­во­го урав­не­ния си­сте­мы, то ре­ше­ни­я­ми си­сте­мы яв­ля­ют­ся две пары чисел и Зна­чит, си­сте­ма будет иметь ровно 4 ре­ше­ния тогда и толь­ко тогда, когда дис­кри­ми­нант пер­во­го урав­не­ния по­ло­жи­те­лен, и не яв­ля­ет­ся кор­нем пер­во­го урав­не­ния. По­лу­ча­ем:

Ответ:

1)

2)

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств при

Вер­нем­ся ко вто­ро­му пунк­ту. Изоб­ра­зим в си­сте­ме ко­ор­ди­нат xOa мно­же­ство точек, ко­ор­ди­на­ты ко­то­рых яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­ем си­сте­мы. Это мно­же­ство точек од­но­вре­мен­но ле­жа­щих не выше пря­мой не выше пря­мой и не ниже па­ра­бо­лы

Оста­лось опре­де­лить, при каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра ре­ше­ни­ем будет яв­лять­ся го­ри­зон­таль­ный от­ре­зок дли­ной 2 (см. рис.). Най­дем абс­цис­сы кон­цов верх­не­го от­рез­ка: Абс­цис­сы кон­цов ниж­не­го от­рез­ка най­дем из урав­не­ния по­лу­чим Раз­ность абс­цисс кон­цов от­рез­ков долж­на быть равна двум, имеем:

Ответ:

1)  

2)   или