СКЛАДУ ЗНО — математика

Задания

Тип Д16 C2 № 883 Добавить в вариант

Источник: ЗНО 2017 року з математики — додаткова сесія

Задачі з параметром. Різні завдання із параметром

Розв’яжіть систему рівнянь

$система выражений левая круглая скобка 2x плюс a правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 2y плюс a правая круглая скобка в квадрате , корень из: начало аргумента: 3ax минус 8x минус 6y конец аргумента =x, конец системы .$

залежно від значень параметра a.

Решение. Из первого уравнения получаем, что $2x плюс a=\pm левая круглая скобка 2y плюс a правая круглая скобка ,$ что дает два случая. Либо $2x плюс a=2y плюс a,$ откуда $x=y,$ либо $2x плюс a= минус 2y минус a,$ откуда $y= минус a минус x.$ Разберем их.

В первом случае после подстановки во второе уравнение получаем

$корень из: начало аргумента: 3ax минус 8x минус 6x конец аргумента =x равносильно корень из: начало аргумента: 3ax минус 14x конец аргумента =x.$

Отсюда видно, что $x больше или равно 0$ и при таких x можно возвести в квадрат, получив

$3ax минус 14x=x в квадрате равносильно x в квадрате минус 3ax плюс 14x=0 равносильно$
$равносильно x левая круглая скобка x минус 3a плюс 14 правая круглая скобка =0,$ $3ax минус 14x=x в квадрате равносильно$
$равносильно x в квадрате минус 3ax плюс 14x=0 равносильно$
$равносильно x левая круглая скобка x минус 3a плюс 14 правая круглая скобка =0,$

откуда $x=0,$ тогда $y=0$ или $x=3a минус 14,$ тогда $y=3a минус 14.$ Первая пара всегда будет решением, а вторая только если $3a минус 14 больше 0,$ то есть $a больше целая часть: 4, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 3 ,$ при $a= целая часть: 4, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 3$ решения совпадут.

Во втором случае после подстановки во второе уравнение получаем

$корень из: начало аргумента: 3ax минус 8x минус 6 левая круглая скобка минус x минус a правая круглая скобка конец аргумента =x равносильно корень из: начало аргумента: 3ax минус 2x плюс 6a конец аргумента =x.$ $корень из: начало аргумента: 3ax минус 8x минус 6 левая круглая скобка минус x минус a правая круглая скобка конец аргумента =x равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: 3ax минус 2x плюс 6a конец аргумента =x.$

Отсюда видно, что $x больше или равно 0$ и при таких x можно возвести в квадрат, получив

$3ax минус 2x плюс 6a=x в квадрате равносильно x в квадрате плюс 2x минус 3ax минус 6a=0 равносильно$
$равносильно x левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка минус 3a левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка =0 равносильно левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3a правая круглая скобка =0,$ $3ax минус 2x плюс 6a=x в квадрате равносильно x в квадрате плюс 2x минус 3ax минус 6a=0 равносильно$
$равносильно x левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка минус 3a левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3a правая круглая скобка =0,$ $3ax минус 2x плюс 6a=x в квадрате равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 2x минус 3ax минус 6a=0 равносильно$
$равносильно x левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка минус 3a левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3a правая круглая скобка =0,$

откуда $x= минус 2,$ что невозможно, так как $x больше или равно 0,$ или $x=3a$ тогда $y= минус x минус a= минус 4a.$ Эта пара будет решением только при $a больше 0,$ при $a=0$ совпадет с уже найденной парой (0; 0).

Очевидно, что пара $левая круглая скобка 3a минус 14; 3a минус 14 правая круглая скобка$ не может совпасть с парой $левая круглая скобка 3a; минус 4a правая круглая скобка ,$ поскольку тогда $3a= минус 4a равносильно a=0$ — но такое значение a не дает совпадающих пар.

Осталось собрать окончательный ответ. При $a меньше или равно 0$ $x=0;$ $y=0.$ При $0 меньше a меньше или равно целая часть: 4, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 3$ $x=0;$ $y=0,$ $x=3a;$ $y= минус 4a.$ При $a больше целая часть: 4, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 3$ $x=0;$ $y=0,$ $x=3a; y= минус 4a,$ $x=3a минус 14;$ $y=3a минус 14.$

Ответ:

— (0; 0), якщо $a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая квадратная скобка ;$

— (0; 0), (3a; −4a), якщо $a принадлежит левая круглая скобка 0; целая часть: 4, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 3 правая квадратная скобка ;$

— (0; 0), (3a; −4a), $левая круглая скобка 3 a минус 14; 3 a минус 14 правая круглая скобка ,$ якщо $a принадлежит левая круглая скобка целая часть: 4, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 3 ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Ответ:

— (0; 0), якщо $a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая квадратная скобка ;$

883

— (0; 0), якщо $a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая квадратная скобка ;$

Источник: ЗНО 2017 року з математики — додаткова сесія

Ключ

№ п/п

№ задания

Ответ

883

— (0; 0), якщо $a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая квадратная скобка ;$