СКЛАДУ ЗНО — математика

Задания

Тип Д16 C2 № 849 Добавить в вариант

Источник: ЗНО 2017 року з математики — основна сесія

Задачі з параметром. Різні завдання із параметром

Розв'яжіть систему рівнянь

$система выражений |x минус y|=|x минус a|, десятичный логарифм левая круглая скобка y минус a правая круглая скобка = десятичный логарифм левая круглая скобка 4 a в квадрате плюс x минус x в квадрате правая круглая скобка конец системы .$

залежно від значень параметра a.

Решение. Первое уравнение дает два варианта. Либо $x минус y=x минус a,$ то есть $y=a,$ либо $x минус y= минус левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка ,$ то есть $y=2x минус a.$ Рассмотрим эти варианты отдельно.

Если $y=a,$ то второе уравнение превращается в $десятичный логарифм 0= десятичный логарифм левая круглая скобка 4a в квадрате плюс x минус x в квадрате правая круглая скобка ,$ что невозможно, поскольку $десятичный логарифм 0$ не определен.

Если же $y=2x минус a,$ то второе уравнение превращается в $десятичный логарифм левая круглая скобка 2x минус 2a правая круглая скобка =\lg левая круглая скобка 4a в квадрате плюс x минус x в квадрате правая круглая скобка ,$ то есть в $2x минус 2a=4a в квадрате плюс x минус x в квадрате$ с дополнительным условием $2x минус 2a больше 0,$ аргумент второго логарифма автоматически получится положительным, поскольку в силу уравнения будет равен $2x минус 2a$ во всех точках, которые нас интересуют. Имеем:

$x в квадрате плюс x минус 2a минус 4a в квадрате =0 равносильно левая круглая скобка x плюс 2a правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2a правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x минус 2a правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 2a правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2a плюс 1 правая круглая скобка =0,$ откуда $x=2a$ или $x= минус 2a минус 1.$

Соответственно, $y=3a$ и $y= минус 5a минус 2.$ Осталось проверить условие $2 левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка больше 0,$ то есть $x больше a.$ Получаем: $2a больше a$ при $a больше 0,$ $минус 2a минус 1 больше a$ при $a меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ,$ $2a= минус 2a минус 1$ при $a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,$ но тогда эти числа отрицательны.

Ответ: $левая круглая скобка минус 2 a минус 1; минус 5 a минус 2 правая круглая скобка ,$ якщо $a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка ;$ немає розв'язків, якщо $a принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; 0 правая квадратная скобка ;$ $левая круглая скобка 2 a; 3 a правая круглая скобка ,$ якщо $a принадлежит левая круглая скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

849

$левая круглая скобка минус 2 a минус 1; минус 5 a минус 2 правая круглая скобка ,$ якщо $a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка ;$ немає розв'язків, якщо $a принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; 0 правая квадратная скобка ;$ $левая круглая скобка 2 a; 3 a правая круглая скобка ,$ якщо $a принадлежит левая круглая скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Источник: ЗНО 2017 року з математики — основна сесія

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	849	$левая круглая скобка минус 2 a минус 1; минус 5 a минус 2 правая круглая скобка ,$ якщо $a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка ;$ немає розв'язків, якщо $a принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; 0 правая квадратная скобка ;$ $левая круглая скобка 2 a; 3 a правая круглая скобка ,$ якщо $a принадлежит левая круглая скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка .$