Вер­ши­на B пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ сов­па­да­ет с точ­кой на­ча­ла ко­ор­ди­нат. Ребра BA, BC, BB₁ па­рал­ле­ле­пи­пе­да при­над­ле­жат на осях x, y, z со­от­вет­ствен­но, по­это­му плос­ко­сти, со­дер­жа­щие грани па­рал­ле­ле­пи­пе­да, пер­пен­ди­ку­ляр­ны со­от­вет­ству­ю­щим осям ко­ор­ди­нат. Вер­ши­на D₁ имеет ко­ор­ди­на­ты (4; 8; 12), по ним можно опре­де­лить ко­ор­ди­на­ты осталь­ных вер­шин па­рал­ле­ле­пи­пе­да. Точка A яв­ля­ет­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти, ко­то­рая про­хо­дит через точку D₁ пер­пен­ди­ку­ляр­но оси x, по­это­му абс­цис­са точки A сов­па­да­ет с абс­цис­сой точки D₁, они равны 4. Ко­ор­ди­на­ты y и z точки A равны 0, так как точка A лежит на оси x. По­это­му A (4; 0; 0). Ана­ло­гич­но опре­де­лим ко­ор­ди­на­ты точки C: (0; 8; 0).

1. Точка M — се­ре­ди­на от­рез­ка BC. Ее ко­ор­ди­на­ты можно опре­де­лить по фор­му­ле:

Ко­ор­ди­на­ты се­ре­ди­ны от­рез­ка BC най­дем по фор­му­ле:

Итак, 1 — Г.

2. Для того, чтобы найти ко­ор­ди­на­ты век­то­ра вы­чтем из ко­ор­ди­нат ко­неч­ной точки ко­ор­ди­на­ты точки на­ча­ла век­то­ра:

Итак, 2 — Б.

От­ме­тим, что если точка, яв­ля­ю­ща­я­ся на­ча­лом век­то­ра, сов­па­да­ет с точ­кой на­ча­ла ко­ор­ди­нат, то ко­ор­ди­на­ты век­то­ра сов­па­да­ют с ко­ор­ди­на­та­ми его ко­неч­ной точки.

3. Ребро DD₁ па­рал­лель­но оси z. Зна­чит, ко­ор­ди­на­ты каж­дой точки, при­над­ле­жа­щей дан­но­му ребру, имеют вид (4; 8; z), при­чем Точка, уда­лен­ная от вер­ши­ны D на 4 еди­ни­цы и ле­жа­щая на ребре DD₁, имеет ко­ор­ди­на­ты (4; 8; 4). Таким об­ра­зом, 3 — Д.

4. Ко­ор­ди­нат­ная плос­кость yz за­да­ет­ся урав­не­ни­ем x = 0. Рас­смат­ри­вая точку C₁ как про­ек­цию точки D₁ на плос­кость yz, по­лу­чим ее ко­ор­ди­на­ты: (0; 8; 12). Сле­до­ва­тель­но, 4 — А.

Ответ: 1 — Г, 2 — Б, 3 — Д, 4 — А.