СКЛАДУ ЗНО — математика

Задания

Тип Д17 C3 № 746 Добавить в вариант

Источник: ЗНО 2016 року з математики — основна сесія

Методы геометрии: Теорема косинусов, Теорема о трёх перпендикулярах, Теорема Пифагора

Классификатор стереометрии: 1\.3\. Угол между плоскостями, 3\.6\. Неправильные пирамиды

Складна стереометрія. Багатогранники

Основою піраміди SABCD є ромб ABCD, більша діагональ якого АС = 30. Грань SBC є рівнобедреним трикутником (SB = SC) і перпендикулярна до площини основи піраміди. Ребро SC нахилено до площини основи піраміди під кутом 30°. Визначте кут між площинами (SAD) і (АВС), якщо висота піраміди дорівнює 5.

Решение. Поскольку грань SBC перпендикулярна плоскости ABCD, проекция точки S на плоскость ABCD лежит на BC и совпадает с основанием перпендикуляра, проведенного из S к BC. Поскольку треугольник SBC равнобедренный, его высота совпадает с медианой, поэтому M — середина BC. В треугольнике SMC мы знаем $\angle SMC=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ $\angle SCM=30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ (это и есть угол между SC и плоскостью основания, поскольку проекцией SC будет MC), $SM=5.$ Тогда $SC=2 умножить на SM=10,$ также

$MC= корень из: начало аргумента: 10 в квадрате минус 5 в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 100 минус 25 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 75 конец аргумента =5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ $BC=2MC=10 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Тогда в треугольнике ABC по теореме косинусов получаем:

$900=AC в квадрате =AB в квадрате плюс BC в квадрате минус 2AB умножить на BC косинус \angle B=2BC в квадрате минус 2BC в квадрате косинус \angle B=$
$=2 умножить на левая круглая скобка 10 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате минус 2 умножить на левая круглая скобка 10 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате косинус \angle B=2 умножить на 100 умножить на 3 минус 2 умножить на 100 умножить на 3 косинус \angle B=600 минус 600 косинус \angle B,$ $900=AC в квадрате =AB в квадрате плюс BC в квадрате минус 2AB умножить на BC косинус \angle B=$
$=2BC в квадрате минус 2BC в квадрате косинус \angle B=2 умножить на левая круглая скобка 10 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате минус 2 умножить на левая круглая скобка 10 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате косинус \angle B=$
$=2 умножить на 100 умножить на 3 минус 2 умножить на 100 умножить на 3 косинус \angle B=600 минус 600 косинус \angle B,$ $900=AC в квадрате =AB в квадрате плюс BC в квадрате минус 2AB умножить на BC косинус \angle B=$
$=2BC в квадрате минус 2BC в квадрате косинус \angle B=$
$=2 умножить на левая круглая скобка 10 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате минус 2 умножить на левая круглая скобка 10 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате косинус \angle B=$
$=2 умножить на 100 умножить на 3 минус 2 умножить на 100 умножить на 3 косинус \angle B=600 минус 600 косинус \angle B,$

откуда $косинус \angle B= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $\angle B=120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ $\angle A=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ Плоскости ABCD и SAD пересекаются по прямой AD. Опустим на нее перпендикуляр из точки M. Допустим, он упадет в точку N. Тогда $SN\perp AD$ по теореме о трех перпендикулярах. Значит

$\angle левая круглая скобка ASD, ABCD правая круглая скобка =\angle левая круглая скобка SN, MN правая круглая скобка =\angle SNM= арктангенс дробь: числитель: SM, знаменатель: MN конец дроби = арктангенс дробь: числитель: 5, знаменатель: MN конец дроби .$

Осталось вычислить MN — высоту ромба. Проведем высоту из B — она по длине такая же, но ее вычислять удобнее.

Пусть BH — высота. Тогда в треугольнике BHA мы знаем, что $\angle A=60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ $AB=10 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ поэтому

$BH=AB умножить на синус A=10 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 30, знаменатель: 2 конец дроби =15.$

Значит

$\angle левая круглая скобка ASD, ABCD правая круглая скобка = арктангенс дробь: числитель: 5, знаменатель: 15 конец дроби = арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: $арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

746

$арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

Источник: ЗНО 2016 року з математики — основна сесія

Методы геометрии: Теорема косинусов, Теорема о трёх перпендикулярах, Теорема Пифагора

Классификатор стереометрии: 1\.3\. Угол между плоскостями, 3\.6\. Неправильные пирамиды

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	746	$арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$