СКЛАДУ ЗНО — математика

Задания

Тип 34 № 1326 Добавить в вариант

Источник: ЗНО 2021 року з математики — пробний тест

Классификатор алгебры: 8\.11\. Прочие задачи с параметром

Задачі з параметром. Рівняння з параметром

Задано рівняння

$дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x в квадрате минус 3 левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка x плюс 2a в квадрате минус 3a правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 минус 2x правая круглая скобка плюс 2 конец дроби =0,$

де x — змінна, a — стала.

1. Запишіть множину допустимих значень змінної x.

Відповідь:

2. Розв’яжіть задане рівняння залежно від значень a.

Відповідь:

Решение. Нужно, чтобы логарифм был определен, то есть чтобы $3 минус 2x больше 0 равносильно x меньше 1,5$ и еще чтобы знаменатель не был равен нулю, то есть

$логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 минус 2x правая круглая скобка плюс 2 не равно 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 минус 2x правая круглая скобка не равно минус 2 равносильно 3 минус 2x не равно 0,5 в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 3 минус 2x не равно 4 равносильно 2x не равно минус 1 равносильно x не равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 минус 2x правая круглая скобка плюс 2 не равно 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 минус 2x правая круглая скобка не равно минус 2 равносильно$
$равносильно 3 минус 2x не равно 0,5 в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка равносильно 3 минус 2x не равно 4 равносильно$
$равносильно 2x не равно минус 1 равносильно x не равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 минус 2x правая круглая скобка плюс 2 не равно 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 минус 2x правая круглая скобка не равно минус 2 равносильно$
$равносильно 3 минус 2x не равно 0,5 в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 3 минус 2x не равно 4 равносильно$
$равносильно 2x не равно минус 1 равносильно x не равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Итак, допустимые значения x это $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$ Теперь решим уравнение. Числитель дроби должен быть равен нулю, откуда либо $x минус 2=0,$ то есть $x=2$ (не входит в область определения уравнения), либо

$x в квадрате минус 3 левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка x плюс 2a в квадрате минус 3a=0 равносильно$
$равносильно x в квадрате минус левая круглая скобка 3a минус 3 правая круглая скобка x плюс a левая круглая скобка 2a минус 3 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно x в квадрате минус левая круглая скобка 2a минус 3 плюс a правая круглая скобка x плюс a левая круглая скобка 2a минус 3 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка левая круглая скобка x минус левая круглая скобка 2a минус 3 правая круглая скобка правая круглая скобка =0,$

откуда $x=a$ или $x=2a минус 3.$ Осталось выяснить, при каких a эти корни попадают в область определения уравнения.

Разберем сразу случай, когда $a=2a минус 3,$ то есть $a= минус 3.$ Тогда $x= минус 3$ и годится в уравнение. Корень $x=a$ подходит, если $a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Корень $x=2a минус 3$ подходит, если $2a минус 3 принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 2a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка равносильно a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка .$

Ответ:

1) $x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 0,5 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 0,5; 1,5 правая круглая скобка .$

— якщо $a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 0,5 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 0,5; 1,25 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1,25; 1,5 правая круглая скобка ,$ то $x принадлежит левая фигурная скобка a; 2 a минус 3 правая фигурная скобка ;$

— якщо $a принадлежит левая фигурная скобка минус 0,5 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 1,5; 2,25 правая круглая скобка ,$ то $x=2 a минус 3;$