СКЛАДУ ЗНО — математика

Задания

Тип 30 № 1288 Добавить в вариант

Источник: ЗНО 2021 року з математики — основна сесія

Классификатор алгебры: 13\.2\. Чётность, нечётность, ограниченность, периодичность функции, 13\.3\. Монотонность и экстремумы функции , 13\.4\. Наибольшее и наименьшее значение функции, 14\.4\. Построение графика функции при помощи производной

Аналіз функції. Повне дослідження функції та побудова графіка

Задано функцію $y= x в кубе минус 3x.$

x	y
0
−1
2

1. Для наведених у таблиці значень аргументи х визначте відповідні їм значення у (див. таблиця).

2. Визначте й запишіть координати точок перетину графіка функції $y=x в кубе минус 3x$ із віссю x.

3. Знайдіть похідну f' функції $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = x в кубе минус 3x.$

4. Визначте нулі функції f'.

5. Визначте проміжки зростання і спадання, точки екстремуму й екстремуми функції f.

6. Побудуйте ескіз графіка функції f.

Решение. Найдем значения функции в указанных точках. Имеем:

$y левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в кубе минус 3 левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = минус 1 плюс 3=2,$

также

$y левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =0 в кубе минус 3 умножить на 0=0 минус 0=0$

$y левая круглая скобка 2 правая круглая скобка =2 в кубе минус 3 умножить на 2=8 минус 6=2.$

Точки пересечения с осью OX данного графика это точки, абсциссы которых являются корнями уравнения $x в кубе минус 3x=0 равносильно x левая круглая скобка x в квадрате минус 3 правая круглая скобка =0,$ откуда $x=0,$ $x=\pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Возьмем производную функции:

$f' левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка x в кубе минус 3x правая круглая скобка '=3x в квадрате минус 3.$

Решая уравнение $3x в квадрате минус 3=0,$ получим

$3 левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка =0 равносильно 3 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно x=\pm 1.$ $3 левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно 3 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно x=\pm 1.$ $3 левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно 3 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно x=\pm 1.$

Исследуя знак этого выражения с помощью метода интервалов, получим $f' больше 0$ при $x меньше минус 1$ и при $x больше 1$ (функция возрастает), $f' меньше 0$ при $x принадлежит левая круглая скобка минус 1;1 правая круглая скобка$ (функция убывает). При $x=1$ у функции минимум, при $x= минус 1$ у функции максимум, $f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =1 в кубе минус 3 умножить на 1=1 минус 3= минус 2$

Заметим дополнительно, что функция нечетна,

$f левая круглая скобка минус x правая круглая скобка = левая круглая скобка минус x правая круглая скобка в кубе минус 3 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка =$
$= минус x в кубе плюс 3x= минус левая круглая скобка x в кубе минус 3x правая круглая скобка = минус f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ $f левая круглая скобка минус x правая круглая скобка = левая круглая скобка минус x правая круглая скобка в кубе минус 3 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка =$
$= минус x в кубе плюс 3x=$
$= минус левая круглая скобка x в кубе минус 3x правая круглая скобка = минус f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$

поэтому ее график симметричен относительно начала координат. Примерный график показан на рисунке.

Ответ:

1) якщо $x=0,$ то $y=0;$ $x= минус 1,$ то $y=2;$ $x=2,$ то $y=2;$

2) $левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ; 0 правая круглая скобка ;$ $левая круглая скобка 0; 0 правая круглая скобка ;$ $левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ; 0 правая круглая скобка ;$

3) $f в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка x правая круглая скобка =3 x в квадрате минус 3;$

4) $x=1$ и $x= минус 1;$

5) Проміжки зростання: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая квадратная скобка ,$ $левая квадратная скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка ;$ проміжок спадання: [−1; 1]; точки екстремуму: $x_\max = минус 1;$ $x_\min=1;$ екстремуми: $f_\max =2;$ $f_\min = минус 2;$