СКЛАДУ ЗНО — математика

Задания

Тип 30 № 1254 Добавить в вариант

Источник: ЗНО 2021 року з математики — додаткова сесія

Классификатор алгебры: 13\.2\. Чётность, нечётность, ограниченность, периодичность функции, 13\.3\. Монотонность и экстремумы функции , 13\.4\. Наибольшее и наименьшее значение функции, 14\.4\. Построение графика функции при помощи производной

Аналіз функції. Повне дослідження функції та побудова графіка

x	y
−1
0
2

Задано функцію $y= x в кубе минус 12x.$

1. Для наведених у таблиці значень аргументи х визначте відповідні їм значення у (см. тблицу).

2. Визначте й запишіть координати точок перетину графіка функції $y= x в кубе минус 12x$ із віссю х.

3. Знайдіть похідну f' функції $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в кубе минус 12x.$

4. Визначте нулі функції f'.

5. Визначте проміжки зростання і спадання, точки екстремуму й екстремуми функції f.

6. Побудуйте ескіз графіка функції f.

Решение. Имеем:

$y левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в кубе минус 12 левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = минус 1 плюс 12=11,$ $y левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в кубе минус 12 левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =$
$= минус 1 плюс 12=11,$

также

$y левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =0 в кубе минус 12 умножить на 0=0 минус 0=0$

$y левая круглая скобка 2 правая круглая скобка =2 в кубе минус 12 умножить на 2=8 минус 24= минус 16.$

Точки пересечения с осью OX данного графика это точки, абсциссы которых являются корнями уравнения $x в кубе минус 12x=0 равносильно x левая круглая скобка x в квадрате минус 12 правая круглая скобка =0,$ откуда $x=0,$ $x=\pm корень из: начало аргумента: 12 конец аргумента .$ Возьмем производную: $f' левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка x в кубе минус 12x правая круглая скобка '=3x в квадрате минус 12.$ Решая уравнение $3x в квадрате минус 12=0,$ получим

$3 левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка =0 равносильно 3 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка =0 равносильно x=\pm 2.$ $3 левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно 3 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка =0 равносильно x=\pm 2.$ $3 левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно 3 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно x=\pm 2.$

Исследуя знак этого выражения с помощью метода интервалов, получим $f' больше 0$ при $x меньше минус 2$ и при $x больше 2$ (функция возрастает), $f' меньше 0$ при $x принадлежит левая круглая скобка минус 2; 2 правая круглая скобка$ (функция убывает). При $x=2$ у функции минимум, при $x= минус 2$ у функции максимум,

$f левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка = левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка в кубе минус 12 левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка = минус 8 плюс 24=16.$ $f левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка = левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка в кубе минус 12 левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка =$
$= минус 8 плюс 24=16.$

Заметим дополнительно, что функция нечетна,

$f левая круглая скобка минус x правая круглая скобка = левая круглая скобка минус x правая круглая скобка в кубе минус 12 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка =$
$= минус x в кубе плюс 12x= минус левая круглая скобка x в кубе минус 12x правая круглая скобка = минус f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ $f левая круглая скобка минус x правая круглая скобка = левая круглая скобка минус x правая круглая скобка в кубе минус 12 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка =$
$= минус x в кубе плюс 12x=$
$= минус левая круглая скобка x в кубе минус 12x правая круглая скобка = минус f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$

поэтому ее график симметричен относительно начала координат.

Источник: ЗНО 2021 року з математики — додаткова сесія

Ключ