Пе­ре­не­сем все сла­га­е­мые в одну часть и раз­ло­жим на мно­жи­те­ли:

Оче­вид­но, при оба мно­жи­те­ля по­ло­жи­тель­ны, при оба мно­жи­те­ля от­ри­ца­тель­ны, при оба мно­жи­те­ля равны нулю. Зна­чит, их про­из­ве­де­ние все­гда не­от­ри­ца­тель­но, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Решим урав­не­ние при

Сле­до­ва­тель­но, если урав­не­ние имеет два таких ре­ше­ния, что одно равно 4, а вто­рое при­над­ле­жит ин­тер­ва­лу (0; 4), то ис­ход­ное урав­не­ние имеет ровно семь ре­ше­ний. Если же оба корня ис­сле­ду­е­мо­го урав­не­ния при­над­ле­жат ин­тер­ва­лу (0; 4), то ис­ход­ное урав­не­ние имеет ровно во­семь ре­ше­ний.

За­ме­тим, что это урав­не­ние имеет два ре­ше­ния: при любом зна­че­нии а. При эти ре­ше­ния сов­па­да­ют. От­сю­да сле­ду­ет, что усло­вие за­да­чи вы­пол­не­но тогда и толь­ко тогда, когда

Ответ:

1)  

2)  

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств при

Вер­нем­ся ко вто­ро­му пунк­ту. Изоб­ра­зим в си­сте­ме ко­ор­ди­нат xOa мно­же­ство точек, ко­ор­ди­на­ты ко­то­рых яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­ем си­сте­мы. Это мно­же­ство точек од­но­вре­мен­но ле­жа­щих не выше пря­мой не выше пря­мой и не ниже па­ра­бо­лы

Оста­лось опре­де­лить, при каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра ре­ше­ни­ем будет яв­лять­ся го­ри­зон­таль­ный от­ре­зок дли­ной 2 (см. рис.). Най­дем абс­цис­сы кон­цов верх­не­го от­рез­ка: Абс­цис­сы кон­цов ниж­не­го от­рез­ка най­дем из урав­не­ния по­лу­чим Раз­ность абс­цисс кон­цов от­рез­ков долж­на быть равна двум, имеем:

Ответ:

1)  

2)   или