Пусть ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды — квад­рат ABCD, а ее вер­ши­на S. Пусть далее M и N се­ре­ди­ны ребер AB и CD со­от­вет­ствен­но, а O — центр ос­но­ва­ния. Тогда се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью SMN пред­став­ля­ет собой рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник (по­сколь­ку угол между гра­нью SAB и ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды имеет своим ли­ней­ным углом, по­это­му ана­ло­гич­но ), а се­че­ние ею же шара - круг, впи­сан­ный в этот тре­уголь­ник. Обо­зна­чим сто­ро­ну этого тре­уголь­ни­ка за тогда его вы­со­та (она же ме­ди­а­на) по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра равна Точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан (в рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке она за­од­но - центр впи­сан­ной окруж­но­сти) делит ее в от­но­ше­нии по­это­му ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен от­ку­да Тогда

Ответ: 324.

Пусть P  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков BE и AD (см. рис.). Тре­уголь­ник ABD  — рав­но­бед­рен­ный, так как его бис­сек­три­са BP яв­ля­ет­ся вы­со­той. По­это­му

По свой­ству бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка

Про­ведём через вер­ши­ну B пря­мую, па­рал­лель­ную AC. Пусть K  — точка пе­ре­се­че­ния этой пря­мой с про­дол­же­ни­ем ме­ди­а­ны AD. Тогда по­сколь­ку тре­уголь­ни­ки BDK и ADC равны по сто­ро­не и двум при­ле­жа­щим к ней углам.

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков APE и KPB сле­ду­ет, что По­это­му и Сле­до­ва­тель­но, имеем:

1. Сто­ро­на AB равна:

2. Сто­ро­на BC равна:

3. Най­дем сто­ро­ну AE:

Ответ: 1 —В, 2 — Г, 3 — Б.