Най­дем ра­ди­ус окруж­но­сти, ко­то­рая впи­са­на в каж­дую из фигур, изоб­ра­жен­ных на ри­сун­ках.

Рис. 1. Центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в любой тре­уголь­ник, на­хо­дит­ся в точке пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис тре­уголь­ни­ка. В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке бис­сек­три­сы од­но­вре­мен­но яв­ля­ют­ся его вы­со­та­ми и ме­ди­а­на­ми, а точ­кой со­при­кос­но­ве­ния де­лят­ся на от­рез­ки по от­но­ше­нию 2:1, счи­тая от вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка. По­лу­ча­ет­ся, что ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник, равен его вы­со­ты. По усло­вию за­да­чи вы­со­та равна тогда ра­ди­ус впи­сан­ной в тре­уголь­ник окруж­но­сти равен Итак, 1 — Д.

Рис. 2. Ра­ди­ус r окруж­но­сти, впи­сан­ной в ромб, равен по­ло­ви­не длины вы­со­ты h этого ромба (см. ри­су­нок 2). Най­дем его длину: По­лу­ча­ем: 2 — Г.

Рис. 3. Ра­ди­ус r окруж­но­сти, впи­сан­ной в квад­рат, длина сто­ро­ны ко­то­ро­го рана a, равен по­ло­ви­не его сто­ро­ны: Если диа­го­наль квад­ра­та равна то Тогда Итак, 3 — В.

Рис. 4. Три диа­го­на­ли пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка, со­еди­ня­ю­щие про­ти­во­по­лож­ные вер­ши­ны, делят ше­сти­уголь­ник на шесть рав­ных рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ков. Тогда ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в ше­сти­уголь­ник, равен вы­со­те рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка. Если длина сто­ро­ны ше­сти­уголь­ни­ка равна a, можем найти ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в ше­сти­уголь­ник: Так как диа­го­наль пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка, со­еди­ня­ю­щая про­ти­во­по­лож­ные его вер­ши­ны вдвое боль­ше сто­ро­ны этого ше­сти­уголь­ни­ка, спра­вед­ли­во ра­вен­ство По­лу­ча­ем, что сто­ро­на ше­сти­уголь­ни­ка равна а

Сле­до­ва­тель­но, 4 — А.

Ответ: 1 — Д, 2 — Г, 3 — В, 4 — А.

Пусть P  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков BE и AD (см. рис.). Тре­уголь­ник ABD  — рав­но­бед­рен­ный, так как его бис­сек­три­са BP яв­ля­ет­ся вы­со­той. По­это­му

По свой­ству бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка

Про­ведём через вер­ши­ну B пря­мую, па­рал­лель­ную AC. Пусть K  — точка пе­ре­се­че­ния этой пря­мой с про­дол­же­ни­ем ме­ди­а­ны AD. Тогда по­сколь­ку тре­уголь­ни­ки BDK и ADC равны по сто­ро­не и двум при­ле­жа­щим к ней углам.

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков APE и KPB сле­ду­ет, что По­это­му и Сле­до­ва­тель­но, имеем:

1. Сто­ро­на AB равна:

2. Сто­ро­на BC равна:

3. Най­дем сто­ро­ну AE:

Ответ: 1 —В, 2 — Г, 3 — Б.