СКЛАДУ ЗНО, математика: завдання, відповіді, рішення

Поиск
?

в условии в решении в тексте к заданию в атрибутах
Скопировать ссылку на результаты поиска

Категория

Атрибут

Тип Д17 C3 № 1190 Добавить в вариант

Источник: ЗНО 2020 року з математики — додаткова сесія

Методы геометрии: Использование тригонометрии, Теорема Пифагора

Классификатор стереометрии: 3\.9\. Прямоугольный параллелепипед, 5\.7\. Сечение  — параллелограмм или трапеция, 5\.9\. Периметр, площадь сечения

Складна стереометрія. Багатогранники

У прямокутному паралелепіпеді ABCDA₁B₁C₁D₁ через сторону AD нижньої основи й середину ребра CC₁ проведено площину γ. Грань CC₁D₁D є квадратом. Діагональ грані BB₁C₁C дорівнює 8 й утворює з площиною грані CC₁D₁D кут α.

1. Побудуйте переріз паралелепіпеда ABCDA₁B₁C₁D₁ площиною γ.

2. Укажіть вид перерізу та обґрунтуйте свій висновок.

3. Визначте площу перерізу.

Решение.

Обозначим середину CC₁ за M, середину BB₁ за N. Заметим, что $AD\parallel BC\parallel NM,$ поэтому AD и MN лежат в одной плоскости. Очевидно это и есть плоскость $гамма$  — она содержит указанные в условии точку и прямую. Итак, сечением будет прямоугольник ADMN. То, что это параллелограмм, следует из того, что $AD\parallel MN$ и $AD=MN,$ кроме того $AD\perp CD$ и $AD\perp DD_1,$ значит $AD\perp CDD_1C_1,$ а потому $AD\perp DM.$ Найдем его площадь. Пусть $CM=x,$ тогда $CC_1=CD=2x.$ Поскольку проекция CB₁ на плоскость CC₁D₁D это прямая CC₁, то

$альфа =\angleCC_1D_1D,CB_1=\angle левая круглая скобка CB_1,CC_1 правая круглая скобка =\angle B_1CC_1.$

В прямоугольном треугольнике BCC₁ тогда $косинус альфа = дробь: числитель: 2x, знаменатель: 8 конец дроби ,$ откуда $x=4 косинус альфа .$ Кроме того, $B_1C_1=8 синус альфа .$ Наконец,

$S_ADMN=MN умножить на DM=B_1C_1 умножить на корень из: начало аргумента: DC в квадрате плюс CM в квадрате конец аргумента =8 синус альфа корень из: начало аргумента: 4x в квадрате плюс x в квадрате конец аргумента =$
$=8 синус альфа умножить на x корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента =8 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента синус альфа умножить на 4 косинус альфа =32 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента синус альфа косинус альфа = 16 корень из 5 синус 2 альфа .$ $S_ADMN=MN умножить на DM=B_1C_1 умножить на корень из: начало аргумента: DC в квадрате плюс CM в квадрате конец аргумента =$
$=8 синус альфа корень из: начало аргумента: 4x в квадрате плюс x в квадрате конец аргумента =8 синус альфа умножить на x корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента =$
$=8 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента синус альфа умножить на 4 косинус альфа =32 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента синус альфа косинус альфа = 16 корень из 5 синус 2 альфа .$ $S_ADMN=MN умножить на DM=$
$=B_1C_1 умножить на корень из: начало аргумента: DC в квадрате плюс CM в квадрате конец аргумента =8 синус альфа корень из: начало аргумента: 4x в квадрате плюс x в квадрате конец аргумента =$
$=8 синус альфа умножить на x корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента =8 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента синус альфа умножить на 4 косинус альфа =$
$=32 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента синус альфа косинус альфа = 16 корень из 5 синус 2 альфа .$

Ответ: 3. $S=16 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента синус 2 альфа .$

Источник: ЗНО 2020 року з математики — додаткова сесія

РешениеСпрятать решение

Тип Д12 B2 № 2515 Добавить в вариант

Методы геометрии: Использование тригонометрии

Классификатор стереометрии: 3\.3\. Правильная четырёхугольная пирамида

Обчислення у стереометрії. Піраміди

У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро дорівнює 22, а тангенс кута між бічною гранню і площиною основи дорівнює $корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента .$ Знайти бік основи піраміди.

Решение.

Введём обозначения углов, как показано на рисунке. Пусть R — длина половины диагонали. В силу связи основных углов в правильной пирамиде:

$тангенс альфа = тангенс бета / корень из 2 = корень из 7 ,$

поэтому

$a = корень из 2 R= корень из 2 умножить на l косинус альфа .$

Вычислим $косинус альфа$

$косинус альфа = корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 1, знаменатель: тангенс в квадрате альфа плюс 1 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 8 конец дроби .$

Получаем, что

$a = корень из 2 умножить на l косинус альфа = корень из 2 умножить на 22 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 8 конец дроби = 11.$

Ответ: 11.

Примечание.

Докажем формулу связи основных углов в правильной пирамиде.

Пусть h — высота пирамиды, a — сторона основания пирамиды, тогда диагональ основания пирамиды равна $a корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

$тангенс альфа = дробь: числитель: h, знаменатель: 0,5a корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби$ ; $тангенс бета = дробь: числитель: h, знаменатель: 0,5a конец дроби ,$ откуда $тангенс альфа = дробь: числитель: тангенс бета , знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби .$

Ответ: 1

РешениеСпрятать решение

Всего: 2 1–2

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе