Так как ко­рень все­гда не­от­ри­ца­те­лен, имеем:

Решим не­ра­вен­ство графо-ана­ли­ти­че­ским спо­со­бом. ОДЗ дан­но­го не­ра­вен­ства:

В си­сте­ме ко­ор­ди­нат по­лу­чен­ное не­ра­вен­ство за­да­ет xOa по­лу­плос­кость, ле­жа­щую выше пря­мой вклю­чая эту пря­мую.

Левая часть об­ра­ща­ет­ся в нуль, если

В си­сте­ме ко­ор­ди­нат xOa гра­фи­ком пер­во­го урав­не­ния яв­ля­ет­ся окруж­ность с цен­тром в на­ча­ле ко­ор­ди­нат и ра­ди­у­сом (с учётом ОДЗ  — дуга этой окруж­но­сти). Гра­фи­ком вто­ро­го урав­не­ния яв­ля­ет­ся пря­мая

Дуга окруж­но­сти делит по­лу­плос­кость, со­от­вет­ству­ю­щую ОДЗ, на две части (внут­ри окруж­но­сти и сна­ру­жи). Про­ве­рим, вы­пол­ня­ет­ся ли не­ра­вен­ство, под­ста­вив ко­ор­ди­на­ты проб­ных точек.

Часть плос­ко­сти внут­ри окруж­но­сти, проб­ная точка

Часть плос­ко­сти сна­ру­жи окруж­но­сти, проб­ная точка

Таким об­ра­зом, не­ра­вен­ству удо­вле­тво­ря­ют ко­ор­ди­на­ты всех точек дуги окруж­но­сти, пря­мой и части круга огра­ни­чен­ной пря­мой снизу (вы­де­ле­но зелёным).

Тогда при не­ра­вен­ство имеет одно ре­ше­ние, при не­ра­вен­ство имеет бес­ко­неч­ное число ре­ше­ний, при не­ра­вен­ство имеет два ре­ше­ния, при не­ра­вен­ство имеет одно ре­ше­ние.

Ответ:

1)

2)

Решим урав­не­ние при

Вер­нем­ся ко вто­ро­му пунк­ту. В си­сте­ме ко­ор­ди­нат хOa изоб­ра­зим окруж­ность, за­да­ва­е­мую урав­не­ни­ем все точки ко­то­рой об­ра­ща­ют чис­ли­тель дроби в нуль, и па­ра­бо­лу точки ко­то­рой со­от­вет­ству­ют нулям зна­ме­на­те­ля.

Под­став­ляя в урав­не­ние и решая по­лу­чен­ное урав­не­ние, най­дем точки пе­ре­се­че­ния окруж­но­сти и па­ра­бо­лы: и   — точка ка­са­ния. Для най­ден­ных точек чис­ли­тель и зна­ме­на­тель об­ра­ща­ют­ся в нуль од­но­вре­мен­но.

Сле­до­ва­тель­но, за­дан­ное урав­не­ние имеет ровно два ре­ше­ния, когда

Ответ:

1)  

2)  

При­ве­дем ре­ше­ние То­фи­га Али­е­ва.

Ис­ход­ное урав­не­ние имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния, если чис­ли­тель имеет два раз­лич­ных корня, а зна­ме­на­тель не равен 0. Чис­ли­тель имеет два раз­лич­ных корня, если дис­кри­ми­нант по­ло­жи­те­лен:

Ис­клю­чим зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при ко­то­рых зна­ме­на­тель об­ра­ща­ет­ся в 0. Под­ста­вив в чис­ли­тель по­лу­чим

Сле­до­ва­тель­но, чис­ли­тель и зна­ме­на­тель од­но­вре­мен­но об­ра­ща­ют­ся в ноль при x  =  0, x  =  −1 и x  =  2 при усло­вии или a  =  0, a  =  1 и a  =  4, и эти зна­че­ния па­ра­мет­ра а долж­ны быть ис­клю­че­ны.

Итак, за­дан­ное урав­не­ние имеет ровно два ре­ше­ния, когда

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств при

Вер­нем­ся ко вто­ро­му пунк­ту. Изоб­ра­зим в си­сте­ме ко­ор­ди­нат xOa мно­же­ство точек, ко­ор­ди­на­ты ко­то­рых яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­ем си­сте­мы. Это мно­же­ство точек од­но­вре­мен­но ле­жа­щих не выше пря­мой не выше пря­мой и не ниже па­ра­бо­лы

Оста­лось опре­де­лить, при каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра ре­ше­ни­ем будет яв­лять­ся го­ри­зон­таль­ный от­ре­зок дли­ной 2 (см. рис.). Най­дем абс­цис­сы кон­цов верх­не­го от­рез­ка: Абс­цис­сы кон­цов ниж­не­го от­рез­ка най­дем из урав­не­ния по­лу­чим Раз­ность абс­цисс кон­цов от­рез­ков долж­на быть равна двум, имеем:

Ответ:

1)  

2)   или