СКЛАДУ ЗНО — математика

Задания

Тип Д16 C2 № 917 Добавить в вариант

Источник: ЗНО 2017 року з математики — пробний тест

Классификатор алгебры: 8\.2\. Рациональные уравнения, неравенства, системы с параметром

Задачі з параметром. Різні завдання із параметром

Розв’яжіть рівняння

$дробь: числитель: 3x в квадрате минус 6ax минус a плюс 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: | косинус левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка плюс 1| минус 1 конец дроби =0$

залежно від значень параметра a.

Решение. Сразу отметим, что $x больше a,$ иначе логарифм не определен. Кроме того, знаменатель не должен быть нулем. Решим уравнение

$\abs косинус левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка плюс 1 минус 1=0 равносильно$
$равносильно \abs косинус левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка плюс 1=1 равносильно косинус левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка плюс 1=1$ $\abs косинус левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка плюс 1 минус 1=0 равносильно$
$равносильно \abs косинус левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка плюс 1=1 равносильно$
$равносильно косинус левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка плюс 1=1$

(поскольку $косинус левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка больше или равно минус 1$ при всех x), то есть

$косинус левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка =0 равносильно Пи x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k равносильно x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс k, k принадлежит Z .$ $косинус левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка =0 равносильно Пи x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k равносильно$
$равносильно x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс k, k принадлежит Z .$ $косинус левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно Пи x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k равносильно$
$равносильно x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс k, k принадлежит Z .$

Такие значения x запрещены. При условии $x больше a,$ $x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс k,$ $k принадлежит Z$ можно переписать условие в виде

$3x в квадрате минус 6ax минус a плюс левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка =0 равносильно 3x в квадрате минус 6ax плюс x минус 2a=0 равносильно$
$равносильно x левая круглая скобка 3x плюс 1 правая круглая скобка минус 2a левая круглая скобка 3x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно левая круглая скобка x минус 2a правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 1 правая круглая скобка =0,$ $3x в квадрате минус 6ax минус a плюс левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно 3x в квадрате минус 6ax плюс x минус 2a=0 равносильно$
$равносильно x левая круглая скобка 3x плюс 1 правая круглая скобка минус 2a левая круглая скобка 3x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно левая круглая скобка x минус 2a правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 1 правая круглая скобка =0,$ $3x в квадрате минус 6ax минус a плюс левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно 3x в квадрате минус 6ax плюс x минус 2a=0 равносильно$
$равносильно x левая круглая скобка 3x плюс 1 правая круглая скобка минус 2a левая круглая скобка 3x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 2a правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 1 правая круглая скобка =0,$

откуда $x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби$ или $x=2a.$

Первый корень будет при условии $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби больше a,$ а второй — при условии $2a больше a,$ то есть $a больше 0$ и, кроме того,

$2a не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс k равносильно a не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби k, k принадлежит Z .$

Ответ:

— при $a меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби$ $x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ;$

— при $a принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; 0 правая квадратная скобка$ нет решений;

— при $a больше 0,$ $a не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби k,$ $k принадлежит Z$ $x=2a;$

— при $a больше 0,$ $a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби k,$ $k принадлежит Z$ нет решений.

Ответ:

917

Источник: ЗНО 2017 року з математики — пробний тест

Классификатор алгебры: 8\.2\. Рациональные уравнения, неравенства, системы с параметром

Ключ

№ п/п

№ задания

Ответ

917