СКЛАДУ ЗНО — математика

Задания

Тип Д17 C3 № 916 Добавить в вариант

Источник: ЗНО 2017 року з математики — пробний тест

Методы геометрии: Теорема о трёх перпендикулярах, Теорема Пифагора

Классификатор стереометрии: 1\.6\. Угол между плоскостями, 3\.6\. Неправильные пирамиды

Складна стереометрія. Багатогранники

Основою піраміди SABCD є паралелограм ABCD з гострим кутом А. Ребро SB перпендикулярне до прямих AB і BC. Проекцією ребра SD на площину основи піраміди є відрізок довжиною 10 см, який утворює зі стороною AD кут: 30°. Визначте кут між площинами (SAD) і (ABC). якщо SD = 15 см.

Решение. Поскольку $SB\perp AB$ и $SB\perp BC,$ получаем что $SB\perp ABCD.$ Тогда проекция SD на плоскость основания это BD, то есть $BD=10$ см. В прямоугольном треугольнике SBD по теореме Пифагора находим

$SB= корень из: начало аргумента: SD в квадрате минус BD в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 15 в квадрате минус 10 в квадрате конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 225 минус 100 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 125 конец аргумента =5 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента см.$ $SB= корень из: начало аргумента: SD в квадрате минус BD в квадрате конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 15 в квадрате минус 10 в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 225 минус 100 конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 125 конец аргумента =5 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента см.$ $SB= корень из: начало аргумента: SD в квадрате минус BD в квадрате конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 15 в квадрате минус 10 в квадрате конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 225 минус 100 конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 125 конец аргумента =5 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента см.$

Опустим перпендикуляр BH на AD. Тогда BH будет проекцией SH на плоскость основания и потому $SH\perp AD$ по теореме о трех перпендикулярах. Значит,

$\angle левая круглая скобка SAD, ABCD правая круглая скобка =\angle левая круглая скобка SH, BH правая круглая скобка =\angle SHB.$

В прямоугольном треугольнике BHD находим

$BH=BD умножить на синус \angle BDH=10 умножить на синус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =10 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =5.$ $BH=BD умножить на синус \angle BDH=$
$=10 умножить на синус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =10 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =5.$

Значит в прямоугольном треугольнике SHB:

$\angle SHB= арктангенс дробь: числитель: SB, знаменатель: BH конец дроби = арктангенс дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби = арктангенс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$ $\angle SHB= арктангенс дробь: числитель: SB, знаменатель: BH конец дроби =$
$= арктангенс дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби = арктангенс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$

Ответ: $арктангенс корень из 5 .$

916

$арктангенс корень из 5 .$

Источник: ЗНО 2017 року з математики — пробний тест

Методы геометрии: Теорема о трёх перпендикулярах, Теорема Пифагора

Классификатор стереометрии: 1\.6\. Угол между плоскостями, 3\.6\. Неправильные пирамиды

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	916	$арктангенс корень из 5 .$