СКЛАДУ ЗНО — математика

Задания

Тип Д4 A4 № 814 Добавить в вариант

Источник: ЗНО 2016 року з математики — пробний тест

Завдання старого формату. Аналіз функції

Знайдіть найбільше та найменше значення функції $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x плюс синус 2x$ на відрізку $левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. Возьмем производную данной функции:

$левая круглая скобка x плюс синус 2x правая круглая скобка '=1 плюс косинус 2x умножить на левая круглая скобка 2x правая круглая скобка '=1 плюс 2 косинус 2x.$ $левая круглая скобка x плюс синус 2x правая круглая скобка '=1 плюс косинус 2x умножить на левая круглая скобка 2x правая круглая скобка '=$
$=1 плюс 2 косинус 2x.$ $левая круглая скобка x плюс синус 2x правая круглая скобка '=$
$=1 плюс косинус 2x умножить на левая круглая скобка 2x правая круглая скобка '=$
$=1 плюс 2 косинус 2x.$

Решая уравнение $1 плюс 2 косинус 2x=0,$ находим

$косинус 2x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно 2x=\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k равносильно =\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z .$ $косинус 2x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно 2x=\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k равносильно$
$равносильно =\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z .$ $косинус 2x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно 2x=\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k равносильно$
$равносильно =\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z .$

На отрезке $левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка$ из всех этих точек лежит только $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Вычислим теперь значения функции в точках, где могли бы быть наибольшее или наименьшее значения — в корнях производной и концах отрезка. Тогда

$f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =0 плюс синус 0=0,$ $f левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс синус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $f левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс синус Пи =1.$

Ясно, что первое значение — наименьшее из всех, а второе — наибольшее.

Ответ: наибольшее значение — $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби ,$ наименьшее — 0.

Источник: ЗНО 2016 року з математики — пробний тест

Ключ