Тип 19 № 806 
Справедливість тверджень планіметрії. Многокутники та кола
i
Установіть відповідність між геометричною фігурою (1—4) та радіусом кола (А—Д), вписаного в цю геометричну фігуру.
Гаометрична фігура
1. правильний трикутник, висота якого дорівнює 
(рис. 1)
2. ромб, висота якого дорівнює (рис. 2)
3. квадрат, діагональ якого дорівнює (рис. 3)
4. правильний шестикутник, більша діагональ якого дорівнює 
(рис. 4)
Радіус кола, вписаного в геометричну фігуру
Решение. Найдем радиус окружности, которая вписана в каждую из фигур, изображенных на рисунках.
Рис. 1. Центр окружности, вписанной в любой треугольник, находится в точке пересечения биссектрис треугольника. В равностороннем треугольнике биссектрисы одновременно являются его высотами и медианами, а точкой соприкосновения делятся на отрезки по отношению 2:1, считая от вершины треугольника. Получается, что радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 
его высоты. По условию задачи высота равна 
тогда радиус вписанной в треугольник окружности равен 
Итак, 1 — Д.
Рис. 2. Радиус r окружности, вписанной в ромб, равен половине длины высоты h этого ромба (см. рисунок 2). Найдем его длину: 
Получаем: 2 — Г.
Рис. 3. Радиус r окружности, вписанной в квадрат, длина стороны которого рана a, равен половине его стороны: 
Если диагональ квадрата равна то 
Тогда 
Итак, 3 — В.
Рис. 4. Три диагонали правильного шестиугольника, соединяющие противоположные вершины, делят шестиугольник на шесть равных равносторонних треугольников. Тогда радиус окружности, вписанной в шестиугольник, равен высоте равностороннего треугольника. Если длина стороны шестиугольника равна a, можем найти радиус окружности, вписанной в шестиугольник: 
Так как диагональ правильного шестиугольника, соединяющая противоположные его вершины вдвое больше стороны этого шестиугольника, справедливо равенство 
Получаем, что сторона шестиугольника равна 
а
Следовательно, 4 — А.
Ответ: 1 — Д, 2 — Г, 3 — В, 4 — А.
Ответ: Д&Г&В&А
PDF-версии: 
