СКЛАДУ ЗНО — математика

Задания

Тип 34 № 3551 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 8\.11\. Прочие задачи с параметром

Методы алгебры: Метод интервалов

Задачі з параметром. Нерівності з параметром

Задано неравенство $x в квадрате плюс 2|x минус a| больше или равно a в квадрате ,$ где x — переменная, a — параметр.

1.  Решите уравнение при $x в квадрате плюс 2\absx минус 1 = 1.$

2.  Найдите все значения параметра a, при которых неравенство справедливо для всех действительных x.

Решение. Решим уравнение:

$x в квадрате плюс 2\absx минус 1 = 1 равносильно совокупность выражений система выражений x больше или равно 1,x в квадрате плюс 2x минус 2=1, конец системы . система выражений x меньше 1,x в квадрате минус 2x плюс 2=1 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x больше или равно 1,x в квадрате плюс 2x минус 3=0, конец системы . система выражений x меньше 1,x в квадрате минус 2x плюс 1=0 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x больше или равно 1, совокупность выражений x= минус 3,x=1, конец системы . конец совокупности . система выражений x меньше 1,x=1 конец системы . конец совокупности . равносильно x=1.$ $x в квадрате плюс 2\absx минус 1 = 1 равносильно совокупность выражений система выражений x больше или равно 1,x в квадрате плюс 2x минус 2=1, конец системы . система выражений x меньше 1,x в квадрате минус 2x плюс 2=1 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений x больше или равно 1,x в квадрате плюс 2x минус 3=0, конец системы . система выражений x меньше 1,x в квадрате минус 2x плюс 1=0 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x больше или равно 1, совокупность выражений x= минус 3,x=1, конец системы . конец совокупности . система выражений x меньше 1,x=1 конец системы . конец совокупности . равносильно x=1.$ $x в квадрате плюс 2\absx минус 1 = 1 равносильно совокупность выражений система выражений x больше или равно 1,x в квадрате плюс 2x минус 2=1, конец системы . система выражений x меньше 1,x в квадрате минус 2x плюс 2=1 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений x больше или равно 1,x в квадрате плюс 2x минус 3=0, конец системы . система выражений x меньше 1,x в квадрате минус 2x плюс 1=0 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений x больше или равно 1, совокупность выражений x= минус 3,x=1, конец системы . конец совокупности . система выражений x меньше 1,x=1 конец системы . конец совокупности . равносильно x=1.$

Вернемся ко второму пункту. Ясно, что при $x=a$ неравенство обращается в равенство.

Если $x больше a,$ поделим на $x минус a.$ Получим $x плюс a плюс 2 больше или равно 0$ при всех $x больше a.$ Очевидно, для этого нужно, чтобы $a плюс a плюс 2 больше или равно 0,$ то есть $a больше или равно минус 1.$

Если $x меньше a,$ поделим на $a минус x.$ Получим $минус x минус a плюс 2 больше или равно 0$ при всех $x меньше a.$ Очевидно, для этого нужно, чтобы $минус a минус a плюс 2 больше или равно 0,$ то есть $a меньше или равно 1.$