Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює 4. Бічні ребра нахилені до основи під кутом α.
1. Зобразіть на малюнку цю піраміду та кут α.
2. Знайдіть площу повної поверхні піраміди.
3. Знайдіть об'єм піраміди.
Решение. 
Пусть SABCD — правильная треугольная пирамида с вершиной S и основанием АВСD, точка О — центр основания. Проведём высоту пирамиды SO и радиус описанной вокруг основания окружности OB. Прямая OB является проекцией наклонной SB на плоскость основания, поэтому угол SBO это угол наклона бокового ребра к плоскости основания, то есть угол α. Далее, проведём апофему SL боковой грани ASB и радиус вписанной в основание окружности OL. Прямая ОL является проекцией наклонной SL на плоскость основания. По теореме о трех перпендикулярах из взаимной перпендикулярности прямых OL и AB следует взаимная перпендикулярность прямых SL и AB. Следовательно, прямые SL и OL суть перпендикуляры к ребру двугранного угла между плоскостями ASB и ABC, а потому угол SLO — линейный угол двугранного угла при основании. Обозначим его β.
Найдем угол β через угол α. Выразим высоту SO пирамиды из прямоугольных треугольников SOB и SOL, получим:
Приравнивая полученные выражения, находим, что:
Для квадрата отношение радиусов описанной и вписанной окружностей равно
следовательно,
Выразим OL и SO:
Отметим, что радиус вписанной в основание окружности равен
откуда
Площадь полной поверхности пирамиды равна
Найдем объем пирамиды:
Ответ: 1) см. рис.; 2) 
3) 
Ответ: 1) см. рис.; 2)
3)
получим:
