СКЛАДУ ЗНО — математика

Задания

Тип 31 № 3526 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 3\.3\. Правильная четырёхугольная пирамида, 4\.1\. Площадь поверхности многогранников

Стереометрія. 1 частина

Бічні ребра правильної чотирикутної піраміди дорівнюють 7. Плоский кут при вершині дорівнює γ.

1.  Зобразіть на малюнку цю піраміду та кут γ.

2.  Знайдіть апофему.

3.  Знайдіть площу повної поверхні піраміди.

Решение. Пусть SABCD  — правильная четырехугольная пирамида с вершиной S и основанием АВСD, точка О  — центр основания. Угол ASC  — плоский угол при вершине. Это и есть угол γ.

Проведем апофему SL боковой грани ASC. Поскольку треугольник ASB равнобедренный, то высота SL, проведенная к основания, является медианой. Выразим BL из прямоугольного треугольника BSL , получим:

$BL=BS умножить на синус дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби =7 синус дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби .$

Тогда $AB=2BL=14 синус дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби .$ Апофема треугольника ASB равна

$SL=BS умножить на косинус дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби =7 косинус дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби .$

Найдем площадь полной поверхности пирамиды:

$S=S_осн плюс S_бок=BC в квадрате плюс 4 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AB умножить на SL=196 синус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 умножить на 14 синус дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби умножить на 7 косинус дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби =196 синус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби плюс 196 синус гамма .$ $S=S_осн плюс S_бок=BC в квадрате плюс 4 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AB умножить на SL=$
$=196 синус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 умножить на 14 синус дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби умножить на 7 косинус дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби =196 синус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби плюс 196 синус гамма .$ $S=S_осн плюс S_бок=BC в квадрате плюс 4 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AB умножить на SL=$
$=196 синус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 умножить на 14 синус дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби умножить на 7 косинус дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби =$
$=196 синус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби плюс 196 синус гамма .$

Ответ: 1) см. рис.; 2) $7 косинус дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби ;$ 3) $196 синус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби плюс 196 синус гамма .$

3526

1) см. рис.; 2) $7 косинус дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби ;$ 3) $196 синус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби плюс 196 синус гамма .$

Классификатор алгебры: 3\.3\. Правильная четырёхугольная пирамида, 4\.1\. Площадь поверхности многогранников

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	3526	1) см. рис.; 2) $7 косинус дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби ;$ 3) $196 синус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби плюс 196 синус гамма .$