СКЛАДУ ЗНО — математика

Задания

Тип 32 № 3523 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 1\.6\. Угол между плоскостями, 3\.3\. Правильная четырёхугольная пирамида

Методы алгебры: Теорема о трёх перпендикулярах

Источник/автор: Юлия Смолина

Стереометрія. 2 частина

Відповідно до умови завдання 31 (№ 3522) бічні ребра правильної чотирикутної піраміди дорівнюють 5. Плоский кут при вершині дорівнює γ.

1.  Зобразіть на малюнку цю піраміду і побудуйте лінійний кут двогранного кута при основі піраміди.

2.  Знайдіть цей кут.

Решение. Сразу заметим, что это та же пирамида, что в предыдущей задаче. Проведём апофему SL боковой грани ASB и радиус вписанной в основание окружности OL. Прямая ОL является проекцией наклонной SL на плоскость основания. По теореме о трех перпендикулярах из взаимной перпендикулярности прямых OL и AB следует взаимная перпендикулярность прямых SL и AB. Следовательно, прямые SL и OL суть перпендикуляры к ребру двугранного угла между плоскостями ASB и ABC, а потому угол SLO  − линейный угол двугранного угла при основании. Обозначим его β.

Выразим апофему SL из прямоугольных треугольников SOL и SLA:

$SL= дробь: числитель: OL, знаменатель: косинус бета конец дроби ,$

$SL=AL\ctg\angleASL= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AB\ctg дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби ,$

откуда

$дробь: числитель: OL, знаменатель: косинус бета конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AB\ctg дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби равносильно косинус бета = дробь: числитель: 2OL, знаменатель: AB конец дроби тангенс дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби .$

Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине стороны квадрата, следовательно,

$косинус бета = тангенс дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби равносильно бета = арккосинус левая круглая скобка тангенс дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Ответ: 1) см. рис.; 2) $арккосинус левая круглая скобка тангенс дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

3523

1) см. рис.; 2) $арккосинус левая круглая скобка тангенс дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: 1\.6\. Угол между плоскостями, 3\.3\. Правильная четырёхугольная пирамида

Методы алгебры: Теорема о трёх перпендикулярах

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	3523	1) см. рис.; 2) $арккосинус левая круглая скобка тангенс дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$