СКЛАДУ ЗНО — математика

Задания

Тип 31 № 3494 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 3\.2\. Правильная треугольная пирамида, 4\.1\. Площадь поверхности многогранников

Методы алгебры: Теорема Пифагора

Стереометрія. 1 частина

Бічні ребра правильної трикутної піраміди дорівнюють 7. Плоский кут при вершині дорівнює γ.

1.  Зобразіть на малюнку цю піраміду та кут γ.

2.  Знайдіть апофему.

3.  Знайдіть площу повної поверхні піраміди.

Решение. Пусть SABC  — правильная треугольная пирамида с вершиной S и основанием АВС, точка О  — центр основания. Угол BSC  — плоский угол при вершине. Обозначим его γ. Проведем апофему SL боковой грани SBC. Поскольку треугольник BSC равнобедренный, то высота SL, проведенная к основания, является медианой. Выразим BL из прямоугольного треугольника BSL , получим:

$BL=BS умножить на синус дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби =7 синус дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби .$

Тогда $BC=2BL=14 синус дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби .$ Апофема треугольника BSC равна

$SL=BS умножить на косинус дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби =7 косинус дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби .$

Найдем площадь полной поверхности пирамиды:

$S=S_осн плюс S_бок= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби BC в квадрате плюс 3 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BC умножить на SL=$
$= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби умножить на 196 синус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 14 синус дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби умножить на 7 косинус дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби =$
$=49 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 147, знаменатель: 2 конец дроби синус гамма .$ $S=S_осн плюс S_бок=$
$= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби BC в квадрате плюс 3 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BC умножить на SL=$
$= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби умножить на 196 синус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 14 синус дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби умножить на 7 косинус дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби =$
$=49 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 147, знаменатель: 2 конец дроби синус гамма .$

Ответ: 1) см. рис.; 2) $7 косинус дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби ;$ 3) $49 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 147, знаменатель: 2 конец дроби синус гамма .$

3494

1) см. рис.; 2) $7 косинус дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби ;$ 3) $49 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 147, знаменатель: 2 конец дроби синус гамма .$

Классификатор алгебры: 3\.2\. Правильная треугольная пирамида, 4\.1\. Площадь поверхности многогранников

Методы алгебры: Теорема Пифагора

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	3494	1) см. рис.; 2) $7 косинус дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби ;$ 3) $49 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 147, знаменатель: 2 конец дроби синус гамма .$