Ре­ше­ние. Пусть SABC  — пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да с вер­ши­ной S и ос­но­ва­ни­ем АВС, точка О  — центр ос­но­ва­ния. Про­ведём вы­со­ту пи­ра­ми­ды SO и ра­ди­ус опи­сан­ной во­круг ос­но­ва­ния окруж­но­сти OB. Пря­мая ОВ яв­ля­ет­ся про­ек­ци­ей на­клон­ной SB на плос­кость ос­но­ва­ния, по­это­му угол SBC это угол на­кло­на бо­ко­во­го ребра к плос­ко­сти ос­но­ва­ния, то есть угол α.

В ос­но­ва­нии лежит рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник, по­это­му Вы­ра­зим бо­ко­вое ребро SB пи­ра­ми­ды из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка SOB, по­лу­чим:

Про­ве­дем апо­фе­му SL бо­ко­вой грани SBC и най­дем ее по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Ответ: 1) см. рис.; 2) 3)