СКЛАДУ ЗНО — математика

Задания

Тип 31 № 3480 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 3\.2\. Правильная треугольная пирамида, 4\.2\. Объем многогранника

Стереометрія. 1 частина

Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює 3. Бічні ребра нахилені до основи під кутом α.

1.  Зобразіть на малюнку цю піраміду та кут α.

2.  Визначте висоту піраміди.

3.  Знайдіть об'єм піраміди.

Решение. Пусть SABC  — правильная треугольная пирамида с вершиной S и основанием АВС, точка О  — центр основания. Проведём высоту пирамиды SO и радиус описанной вокруг основания окружности OB. Прямая ОВ является проекцией наклонной SB на плоскость основания, поэтому угол SBC это угол наклона бокового ребра к плоскости основания, то есть угол α.

В основании лежит равносторонний треугольник, поэтому $OB = дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Выразим высоту SO пирамиды из прямоугольного треугольника SOB, получим:

$SO=OB тангенс альфа = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента тангенс альфа .$

Объем пирамиды равен

$V_SABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на SO умножить на S_ABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента тангенс альфа умножить на дробь: числитель: 3 в квадрате корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби тангенс альфа .$ $V_SABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на SO умножить на S_ABC=$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента тангенс альфа умножить на дробь: числитель: 3 в квадрате корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби тангенс альфа .$

Ответ: 1) см. рис.; 2) $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента тангенс альфа ;$ 3) $дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби тангенс альфа .$

3480

1) см. рис.; 2) $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента тангенс альфа ;$ 3) $дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби тангенс альфа .$

Классификатор алгебры: 3\.2\. Правильная треугольная пирамида, 4\.2\. Объем многогранника

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	3480	1) см. рис.; 2) $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента тангенс альфа ;$ 3) $дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби тангенс альфа .$