СКЛАДУ ЗНО — математика

Задания

Тип 30 № 3433 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 13\.3\. Монотонность и экстремумы функции , 13\.4\. Наибольшее и наименьшее значение функции, 14\.4\. Построение графика функции при помощи производной

Аналіз функції. Повне дослідження функції та побудова графіка

x	y
−2
−1
$минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$

Задано функцію $y= дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби минус дробь: числитель: 2, знаменатель: x в квадрате конец дроби .$

1. Для наведених у таблиці значень аргументів х визначте відповідні їм значення у (див. таблицю).

2. Знайдіть похідну f' функції $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби минус дробь: числитель: 2, знаменатель: x в квадрате конец дроби .$ Визначте нулі функції f' .

3. Напишіть рівняння дотичної графіка функції $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ паралельної осі абсцис.

4. Визначте проміжки зростання та спадання, точки екстремуму функції f .

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ на відрізку $левая квадратная скобка 1; 6 правая квадратная скобка .$

6. Побудуйте графік функції $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ на відрізку $левая квадратная скобка 1; 6 правая квадратная скобка .$

Решение. Найдем значения функции в указанных точках. Имеем:

$y левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: минус 2 конец дроби минус дробь: числитель: 2, знаменатель: левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка в квадрате конец дроби = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = минус 1;$

$y левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: минус 1 конец дроби минус дробь: числитель: 2, знаменатель: левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец дроби = минус 1 минус 2= минус 3$

$y левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец дроби минус дробь: числитель: 2, знаменатель: левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате конец дроби = минус 2 минус 4= минус 6.$ $y левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец дроби минус дробь: числитель: 2, знаменатель: левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате конец дроби =$
$= минус 2 минус 4= минус 6.$

Возьмем сначала производную этой функции. Получим

$f' левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка минус 2x в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка '=$
$= минус 1 умножить на x в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка минус 2 умножить на левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка умножить на x в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби плюс дробь: числитель: 4, знаменатель: x в кубе конец дроби = минус дробь: числитель: x минус 4, знаменатель: x в кубе конец дроби .$ $f' левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка минус 2x в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка '=$
$= минус 1 умножить на x в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка минус 2 умножить на левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка умножить на x в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка =$
$= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби плюс дробь: числитель: 4, знаменатель: x в кубе конец дроби = минус дробь: числитель: x минус 4, знаменатель: x в кубе конец дроби .$

Если касательная параллельна оси абсцисс, то ее угловой коэффициент (он же значение производной в точке касания) равен нулю. Уравнение $минус дробь: числитель: x минус 4, знаменатель: x в кубе конец дроби$ имеет только корень 4, при этом

$f левая круглая скобка 4 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 4 в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби .$

Значит, уравнение касательной в этой точке имеет вид $y=0 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби равносильно y= дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби .$

Выражение $минус дробь: числитель: x минус 4, знаменатель: x в кубе конец дроби$ отрицательно на отрезке $левая круглая скобка 4;6 правая квадратная скобка$ и положительно на отрезке $левая квадратная скобка 1;4 правая круглая скобка ,$ значит, исходная функция возрастает на $левая квадратная скобка 1;4 правая квадратная скобка$ и убывает на $левая квадратная скобка 4;6 правая квадратная скобка .$ Поэтому наибольшее значение у нее $f левая круглая скобка 4 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби ,$ а наибольшее достигается в одном из концов отрезка:

$f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 конец дроби минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 1 конец дроби =1 минус 2= минус 1,$

$f левая круглая скобка 6 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 6 в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 18 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби .$

в)  Исследуем функцию на этом отрезке чуть более подробно. Записав ее в виде $дробь: числитель: x минус 2, знаменатель: x в квадрате конец дроби$ получим, что единственный ее корень это $x=2.$ Функция определена на всем отрезке, вертикальных асимптот не имеет. Монотонность ее была уже исследована раннее. Осталась выпуклость. Возьмем вторую производную.

$f'' левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка минус 1 умножить на x в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка минус 2 умножить на левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка умножить на x в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка правая круглая скобка '=$
$= левая круглая скобка минус x в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка плюс 4x в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка правая круглая скобка '= минус левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка x в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка плюс 4 умножить на левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка x в степени левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка =$
$=2x в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка минус 12x в степени левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка = дробь: числитель: 2, знаменатель: x в кубе конец дроби минус дробь: числитель: 12, знаменатель: x в степени 4 конец дроби = дробь: числитель: 2x минус 12, знаменатель: x в степени 4 конец дроби ,$ $f'' левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка минус 1 умножить на x в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка минус 2 умножить на левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка умножить на x в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка правая круглая скобка '=$
$= левая круглая скобка минус x в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка плюс 4x в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка правая круглая скобка '=$
$= минус левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка x в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка плюс 4 умножить на левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка x в степени левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка =2x в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка минус 12x в степени левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: 2, знаменатель: x в кубе конец дроби минус дробь: числитель: 12, знаменатель: x в степени 4 конец дроби = дробь: числитель: 2x минус 12, знаменатель: x в степени 4 конец дроби ,$ $f'' левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка минус 1 умножить на x в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка минус 2 умножить на левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка умножить на x в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка правая круглая скобка '=$
$= левая круглая скобка минус x в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка плюс 4x в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка правая круглая скобка '=$
$= минус левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка x в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка плюс 4 умножить на левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка x в степени левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка =$
$=2x в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка минус 12x в степени левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка = дробь: числитель: 2, знаменатель: x в кубе конец дроби минус дробь: числитель: 12, знаменатель: x в степени 4 конец дроби = дробь: числитель: 2x минус 12, знаменатель: x в степени 4 конец дроби ,$ $f'' левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка минус 1 умножить на x в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка минус 2 умножить на левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка умножить на x в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка правая круглая скобка '=$
$= левая круглая скобка минус x в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка плюс 4x в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка правая круглая скобка '=$
$= минус левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка x в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка плюс 4 умножить на левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка x в степени левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка =$
$=2x в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка минус 12x в степени левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: 2, знаменатель: x в кубе конец дроби минус дробь: числитель: 12, знаменатель: x в степени 4 конец дроби = дробь: числитель: 2x минус 12, знаменатель: x в степени 4 конец дроби ,$ $f'' левая круглая скобка x правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка минус 1 умножить на x в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка минус 2 умножить на левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка умножить на x в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка правая круглая скобка '=$
$= левая круглая скобка минус x в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка плюс 4x в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка правая круглая скобка '=$
$= минус левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка x в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка плюс 4 умножить на левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка x в степени левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка =$
$=2x в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка минус 12x в степени левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: 2, знаменатель: x в кубе конец дроби минус дробь: числитель: 12, знаменатель: x в степени 4 конец дроби = дробь: числитель: 2x минус 12, знаменатель: x в степени 4 конец дроби ,$

что неотрицательно при всех $x принадлежит левая квадратная скобка 1;6 правая квадратная скобка ,$ поэтому функция выпукла вверх. Осталось построить график.

Ключ