СКЛАДУ ЗНО — математика

Задания

Тип 30 № 3415 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 15\.13\. Вычисление интегралов, 13\.3\. Монотонность и экстремумы функции , 14\.4\. Построение графика функции при помощи производной

Аналіз функції. Повне дослідження функції та побудова графіка

x	y
−1
0
1

Задано функцію $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =4x в кубе минус 12x в квадрате .$

1. Знайдіть для цієї функції первісну $F левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ графік якої проходить через початок координат.

2. Для наведених у таблиці значень аргументів х визначте відповідні їм значення для функції $y=F левая круглая скобка x правая круглая скобка$ (Див. таблицю).

3. Знайдіть похідну F' функції $F левая круглая скобка x правая круглая скобка .$

4. Визначте нулі функції F' .

5. Визначте точки екстремуму функції F .

6. Побудуйте ескіз графіка функції F .

Решение. Найдем первообразную:

$принадлежит t левая круглая скобка 4x в кубе минус 12x в квадрате правая круглая скобка dx=x в степени 4 минус 4x в кубе плюс C,C принадлежит R .$

Так как график функции $y=F левая круглая скобка x правая круглая скобка$ проходит через начало координат, то значение функции при $x=0$ равно нулю. Тогда: $0=0 минус 4 умножить на 0 плюс C равносильно C=0.$ Искомая первообразная  — $F левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в степени 4 минус 4x в кубе .$

Найдем значения функции в указанных в таблице точках. Имеем:

$y левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени 4 минус 4 умножить на левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в кубе =1 плюс 4=5;$

$y левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =0 в степени 4 минус 4 умножить на 0 в кубе =0;$

$y левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =1 в степени 4 минус 4 умножить на 1 в кубе =1 минус 4= минус 3.$

Заметим, что $D= R ,$ а производная равна

$F' левая круглая скобка x правая круглая скобка =4x в кубе минус 12x в квадрате =4x в квадрате левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка .$

Далее  — см. рис.

Ордината, как и абсцисса, равна 0, т. е. $y_0=0.$ Производная в точке $x_0$ равна нулю. Функция определена на всем множестве вещественных чисел. Найдем корни:

$x в степени 4 минус 4x в кубе =0 равносильно x в кубе левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений x в кубе =0,x минус 4=0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=0,x=4. конец совокупности .$ $x в степени 4 минус 4x в кубе =0 равносильно x в кубе левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений x в кубе =0,x минус 4=0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=0,x=4. конец совокупности .$ $x в степени 4 минус 4x в кубе =0 равносильно$
$равносильно x в кубе левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений x в кубе =0,x минус 4=0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=0,x=4. конец совокупности .$

Далее, находим $y_min=y левая круглая скобка 3 правая круглая скобка = минус 27,$ $y_перегиб=y левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =0.$ Также $y левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =5.$ Осталось нарисовать эскиз графика.

Ключ