СКЛАДУ ЗНО — математика

Задания

Тип 30 № 3412 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 13\.2\. Чётность, нечётность, ограниченность, периодичность функции, 13\.3\. Монотонность и экстремумы функции , 14\.4\. Построение графика функции при помощи производной

Аналіз функції. Повне дослідження функції та побудова графіка

x	y
−1
0
1

Задано функцію $y=6x в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка минус 10x в кубе .$

1. Для наведених у таблиці значень аргументів х визначте відповідні їм значення у (див. таблицю).

2. Визначте та запишіть координати точок перетину графіка $y=6x в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка минус 10x в кубе$ з віссю x .

3. Знайдіть похідну f' функції $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =6x в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка минус 10x в кубе .$

4. Визначте нулі функції f' .

5. Визначте проміжки зростання та спадання, точки екстремуму функції f .

6. Побудуйте ескіз графіка функції f .

Решение. Найдем значения функции в указанных точках. Имеем:

$y левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =6 умножить на левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени 5 минус 10 умножить на левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в кубе = минус 6 плюс 10=4;$ $y левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =6 умножить на левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени 5 минус 10 умножить на левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в кубе =$
$= минус 6 плюс 10=4;$ $y левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =$
$=6 умножить на левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени 5 минус 10 умножить на левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в кубе =$
$= минус 6 плюс 10=4;$

$y левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =6 умножить на 0 в степени 5 минус 10 умножить на 0 в кубе =0;$

$y левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =6 умножить на 1 в степени 5 минус 10 умножить на 1 в кубе =6 минус 10= минус 4.$

Функция определена и дифференцируема на $R .$ Найдем нули функции:

$6x в степени 5 минус 10x в кубе =0 равносильно 2x в кубе левая круглая скобка 3x в квадрате минус 5 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений x=0,x= корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента , x= минус корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента . конец совокупности .$ $6x в степени 5 минус 10x в кубе =0 равносильно$
$равносильно 2x в кубе левая круглая скобка 3x в квадрате минус 5 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений x=0,x= корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента , x= минус корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента . конец совокупности .$ $6x в степени 5 минус 10x в кубе =0 равносильно$
$равносильно 2x в кубе левая круглая скобка 3x в квадрате минус 5 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений x=0,x= корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента , x= минус корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента . конец совокупности .$

Найдем производную:

$y' левая круглая скобка x правая круглая скобка =30x в степени 4 минус 30x в квадрате =30x в квадрате левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка .$

Изобразим на рисунке значки производной и поведение функции.

Функция возрастает на лучах $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка$ и на $левая квадратная скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка ,$ убывает на отрезке $левая квадратная скобка минус 1;1 правая квадратная скобка .$ Экстремумы:

$y_max=y левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = минус 6 плюс 10=4;$

$y_min=y левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =6 минус 10= минус 4.$

Точка $левая круглая скобка 0;0 правая круглая скобка$   — точка перегиба.

Заметим, что функция y(x) нечетная, ее график симметричен относительно начала координат.

Ключ