СКЛАДУ ЗНО — математика

Задания

Тип 30 № 3410 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 13\.2\. Чётность, нечётность, ограниченность, периодичность функции, 13\.3\. Монотонность и экстремумы функции , 13\.4\. Наибольшее и наименьшее значение функции, 14\.4\. Построение графика функции при помощи производной

Аналіз функції. Повне дослідження функції та побудова графіка

x	y
0
1
2

Задано функцію $y= дробь: числитель: x в степени 4 , знаменатель: 4 конец дроби минус 2x в квадрате .$

1. Для наведених у таблиці значень аргументів х визначте відповідні їм значення у (див. таблицю).

2. Визначте та запишіть координати точок перетину графіка $y= дробь: числитель: x в степени 4 , знаменатель: 4 конец дроби минус 2x в квадрате$ з віссю x .

3. Знайдіть похідну f' функції $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: x в степени 4 , знаменатель: 4 конец дроби минус 2x в квадрате .$

4. Визначте нулі функції f' .

5. Визначте проміжки зростання та спадання, точки екстремуму функції f .

6. Побудуйте ескіз графіка функції f .

Решение. Найдем значения функции в указанных точках. Имеем:

$y левая круглая скобка 0 правая круглая скобка = дробь: числитель: 0 в степени 4 , знаменатель: 4 конец дроби минус 2 умножить на левая круглая скобка 0 правая круглая скобка в квадрате =0;$

$y левая круглая скобка 1 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1 в степени 4 , знаменатель: 4 конец дроби минус 2 умножить на левая круглая скобка 1 правая круглая скобка в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби минус 2= минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби ;$

$y левая круглая скобка 2 правая круглая скобка = дробь: числитель: 2 в степени 4 , знаменатель: 4 конец дроби минус 2 умножить на левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в квадрате =4 минус 8= минус 4.$

Функция определена и дифференцируема на $R ,$ функция четная. График симметричен относительно оси Oy. Решим уравнение y  =  0:

$дробь: числитель: x в степени 4 , знаменатель: 4 конец дроби минус 2x в квадрате =0 равносильно x в квадрате левая круглая скобка дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби минус 2 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений x=0,x в квадрате =8 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=0,x= минус 2 корень из 2 , x=2 корень из 2 . конец совокупности .$ $дробь: числитель: x в степени 4 , знаменатель: 4 конец дроби минус 2x в квадрате =0 равносильно$
$равносильно x в квадрате левая круглая скобка дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби минус 2 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений x=0,x в квадрате =8 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=0,x= минус 2 корень из 2 , x=2 корень из 2 . конец совокупности .$

Следовательно, график функции пересекает оси координат в точках $левая круглая скобка 0; 0 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка минус корень из 2 ; 0 правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка корень из 2 ; 0 правая круглая скобка .$ Промежутки знакопостоянтсва отметим на рисунке. Найдем производную:

$y' левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в кубе минус 4x=x левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка =x левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка .$ $y' левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в кубе минус 4x=$
$=x левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка =x левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка .$

Производная обращается в нуль в точках −2, 0 и 2. Изобразим знаки производной и поведение функции на рисунке. Функция убывает на $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая квадратная скобка$ и на $левая квадратная скобка 0; 2 правая квадратная скобка ,$ возрастает на $левая квадратная скобка минус 2; 0 правая квадратная скобка$ и на $левая квадратная скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ Минимумы достигаются в точках −2 и 2:

$y левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка =y левая круглая скобка 2 правая круглая скобка = дробь: числитель: 16, знаменатель: 4 конец дроби минус 2 умножить на 4= минус 4;$

максимум достигается в точке 0: $y левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =0.$ График функции изображен на рисунке.

Ключ