Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 34 № 3345
i

За­да­но рівнян­ня ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те минус 4x плюс 4a минус a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =0, де x – змінна, a – па­ра­метр.

1. Розв'яжіть рівнян­ня log_4 левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = 0.

2. Знайдіть усі зна­чен­ня па­ра­мет­ра a , при кож­но­му з яких рівнян­ня має рівно один корінь на відрізку [0; 2].

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Решим урав­не­ние:

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 2x минус 1 боль­ше 0,2x минус 1=1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,x=1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но x=1.

Вер­нем­ся ко вто­ро­му пунк­ту. Раз­ло­жим под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние на мно­жи­те­ли, для этого вы­де­лим пол­ный квад­рат:

x в квад­ра­те минус 4x плюс 4a минус a в квад­ра­те = x в квад­ра­те минус 4x плюс 4 минус 4 плюс 4a минус a в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка a минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те } = левая круг­лая скоб­ка x минус a пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс a минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Тогда ис­ход­ное урав­не­ние за­пи­сы­ва­ет­ся в виде

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка x минус a пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс a минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та =0.

Про­из­ве­де­ние мно­жи­те­лей равно нулю, если какой-то из них равен нулю, а осталь­ные при этом опре­де­ле­ны. По­лу­ча­ем:

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка x минус a пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс a минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та =0 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний 2x минус 1=1, левая круг­лая скоб­ка x минус a пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс a минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0, конец си­сте­мы . си­сте­ма вы­ра­же­ний левая круг­лая скоб­ка x минус a пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс a минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка =0,2x минус 1 боль­ше 0 конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний x=1, левая круг­лая скоб­ка 1 минус a пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 плюс a минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0, конец си­сте­мы . си­сте­ма вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=a,x=4 минус a, конец си­сте­мы . x боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний x=1,1 мень­ше или равно a мень­ше или равно 3, конец си­сте­мы . си­сте­ма вы­ра­же­ний x=a,a боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , конец си­сте­мы . си­сте­ма вы­ра­же­ний x=4 минус a,a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти .

Число x=1 при­над­ле­жит от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка 0; 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и яв­ля­ет­ся кор­нем урав­не­ния при 1 мень­ше или равно a мень­ше или равно 3. Число x=a при­над­ле­жит от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка 0; 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и яв­ля­ет­ся кор­нем урав­не­ния при дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше a мень­ше или равно 2, Число x=4 минус a при­над­ле­жит от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка 0; 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и яв­ля­ет­ся кор­нем урав­не­ния при 2 мень­ше или равно a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Корни x=1 и x=a сов­па­да­ют при a=1, корни x=1 и x=4 минус a сов­па­да­ют при a=3, корни x=a и x=4 минус a сов­па­да­ют при a=2. Таким об­ра­зом, урав­не­ние имеет ровно один ко­рень на от­рез­ке левая квад­рат­ная скоб­ка 0; 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка при дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше a мень­ше или равно 1 или при 3 мень­ше или равно a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Ответ:

1) левая фи­гур­ная скоб­ка 1 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

2) левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 3; дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Классификатор алгебры: 8\.11\. Про­чие за­да­чи с па­ра­мет­ром
Спрятать решение


О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе
© Гущин Д. Д., 2011—2024