СКЛАДУ ЗНО — математика

Задания

Тип 34 № 3343 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 8\.3\. Иррациональные уравнения, неравенства, системы с параметром

Задачі з параметром. Рівняння з параметром

Задано рівняння $корень из: начало аргумента: x в квадрате минус a в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 3x в квадрате минус левая круглая скобка 3a плюс 1 правая круглая скобка x плюс a конец аргумента ,$ де x – змінна, a – параметр.

1. Розв'яжіть рівняння $корень из: начало аргумента: 3x в квадрате минус 4x плюс 6 конец аргумента =x плюс 4.$

2. Знайдіть усі значення a , при кожному з яких рівняння має рівно один корінь на відрізку [0; 1].

Решение. Решим уравнение:

$корень из: начало аргумента: 3x в квадрате минус 4x плюс 6 конец аргумента =x плюс 4 равносильно система выражений x плюс 4 больше или равно 0,3x в квадрате минус 4x плюс 6=x в квадрате плюс 8x плюс 16 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x больше или равно 4,2x в квадрате плюс 4x минус 10 =0 конец системы . равносильно система выражений x больше или равно 4, совокупность выражений x=3 минус корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента ,x=3 плюс корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=3 минус корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента ,x=3 плюс корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента . конец совокупности .$ $корень из: начало аргумента: 3x в квадрате минус 4x плюс 6 конец аргумента =x плюс 4 равносильно система выражений x плюс 4 больше или равно 0,3x в квадрате минус 4x плюс 6=x в квадрате плюс 8x плюс 16 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x больше или равно 4,2x в квадрате плюс 4x минус 10 =0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x больше или равно 4, совокупность выражений x=3 минус корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента ,x=3 плюс корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=3 минус корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента ,x=3 плюс корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента . конец совокупности .$ $корень из: начало аргумента: 3x в квадрате минус 4x плюс 6 конец аргумента =x плюс 4 равносильно$
$равносильно система выражений x плюс 4 больше или равно 0,3x в квадрате минус 4x плюс 6=x в квадрате плюс 8x плюс 16 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x больше или равно 4,2x в квадрате плюс 4x минус 10 =0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x больше или равно 4, совокупность выражений x=3 минус корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента ,x=3 плюс корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=3 минус корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента ,x=3 плюс корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента . конец совокупности .$

Исходное уравнение равносильно уравнению

$корень из: начало аргумента: левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс a правая круглая скобка конец аргумента = корень из: начало аргумента: левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка конец аргумента .$

Рассмотрим два случая.

Первый случай: $x минус a=0.$ Получаем $x=a$ при $a принадлежит R .$

Второй случай: $x плюс a=3x минус 1$ при условии $x в квадрате больше или равно a в квадрате .$ Получаем $x= дробь: числитель: a плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Условие принимает вид:

$левая круглая скобка дробь: числитель: a плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате больше или равно a в квадрате равносильно левая круглая скобка дробь: числитель: 3a плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: a минус 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка меньше или равно 0,$

откуда $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно a меньше или равно 1.$ То есть в этом случае $x= дробь: числитель: a плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби$ при $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно a меньше или равно 1.$

Корень уравнения $x=a$ принадлежит отрезку $левая квадратная скобка 0; 1 правая квадратная скобка$ при $0 меньше или равно a меньше или равно 1.$

Корень уравнения $x= дробь: числитель: a плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби$ принадлежит отрезку $левая квадратная скобка 0; 1 правая квадратная скобка$ при $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно a меньше или равно 1.$

Корни уравнения $x=a$ и $x= дробь: числитель: a плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби$ совпадают при $a=1.$

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке $левая квадратная скобка 0; 1 правая квадратная скобка$ при $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно a меньше 0$ и $a=1.$

Ответ:

1) $левая фигурная скобка 3 минус корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента ;3 плюс корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента правая фигурная скобка ;$

2) $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно a меньше 0;$ $a=1.$

Ответ:

2) $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно a меньше 0;$ $a=1.$

3343

2) $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно a меньше 0;$ $a=1.$

Классификатор алгебры: 8\.3\. Иррациональные уравнения, неравенства, системы с параметром

Методы алгебры: Перебор случаев

Ключ

№ п/п

№ задания

Ответ

3343

2) $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно a меньше 0;$ $a=1.$